Lære Egenværdier og Egenvektorer | Matematiske Grundlag for PCA

Definition

En egenvektor for en matrix er en ikke-nul vektor, hvis retning forbliver uændret, når en lineær transformation (repræsenteret ved matricen) anvendes på den; kun dens længde skaleres. Mængden af skalering angives af den tilsvarende egenværdi.

For kovariansmatrix $\Sigma$ peger egenvektorer i retningerne med størst varians, og egenværdier angiver, hvor meget varians der er i disse retninger.

Matematisk, for matrix $A$ , egenvektor $v$ og egenværdi $λ$ :

A v = \lambda v

I PCA er egenvektorerne for kovariansmatricen hovedakserne, og egenværdierne er varianserne langs disse akser.


              12345678910111213
            
import numpy as np

# Using the covariance matrix from the previous code
X = np.array([[2.5, 2.4],
              [0.5, 0.7],
              [2.2, 2.9]])
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)
cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0]

# Compute eigenvalues and eigenvectors
values, vectors = np.linalg.eig(cov_matrix)
print("Eigenvalues:", values)
print("Eigenvectors:\n", vectors)

Bemærk

Egenvektoren med den største egenværdi peger i retningen af den største varians i dataene. Dette er den første hovedkomponent.

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 2. Kapitel 2

Spørg AI

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Awesome!

Completion rate improved to 8.33

Stryg for at vise menuen