Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lære Varians, Kovarians og Kovariansmatrix | Matematiske Grundlag for PCA
Dimensionsreduktion med PCA

bookVarians, Kovarians og Kovariansmatrix

Note
Definition

Varians måler, hvor meget en variabel afviger fra sit gennemsnit.

Formlen for varians af en variabel xx er:

Var(x)=1n∑i=1n(xi−xˉ)2\mathrm{Var}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
Note
Definition

Kovarians måler, hvordan to variable ændrer sig sammen.

Formlen for kovarians mellem variablerne xx og yy er:

Cov(x,y)=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

Kovariansmatricen generaliserer kovarians til flere variabler. For et datasæt XX med dd egenskaber og nn observationer er kovariansmatricen Σ\Sigma en d×dd \times d matrix, hvor hvert element Σij\Sigma_{ij} er kovariansen mellem egenskab ii og egenskab jj, beregnet med nævneren n−1n-1 for at være en unbiased estimator.


              
12345678910111213

            
import numpy as np

# Example data: 3 samples, 2 features
X = np.array([[2.5, 2.4],
              [0.5, 0.7],
              [2.2, 2.9]])

# Center the data (subtract mean)
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)

# Compute covariance matrix manually
cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0]
print("Covariance matrix:\n", cov_matrix)
copy

I koden ovenfor centrerer du manuelt dataene og beregner kovariansmatricen ved hjælp af matrixmultiplikation. Denne matrix viser, hvordan hvert par af egenskaber varierer sammen.

question mark

Hvilken påstand beskriver korrekt forholdet mellem varians, kovarians og kovariansmatricen

Select the correct answer

Var alt klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 2. Kapitel 1

Spørg AI

expand

Spørg AI

ChatGPT

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Awesome!

Completion rate improved to 8.33

bookVarians, Kovarians og Kovariansmatrix

Stryg for at vise menuen

Note
Definition

Varians måler, hvor meget en variabel afviger fra sit gennemsnit.

Formlen for varians af en variabel xx er:

Var(x)=1n∑i=1n(xi−xˉ)2\mathrm{Var}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
Note
Definition

Kovarians måler, hvordan to variable ændrer sig sammen.

Formlen for kovarians mellem variablerne xx og yy er:

Cov(x,y)=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

Kovariansmatricen generaliserer kovarians til flere variabler. For et datasæt XX med dd egenskaber og nn observationer er kovariansmatricen Σ\Sigma en d×dd \times d matrix, hvor hvert element Σij\Sigma_{ij} er kovariansen mellem egenskab ii og egenskab jj, beregnet med nævneren n−1n-1 for at være en unbiased estimator.


              
12345678910111213

            
import numpy as np

# Example data: 3 samples, 2 features
X = np.array([[2.5, 2.4],
              [0.5, 0.7],
              [2.2, 2.9]])

# Center the data (subtract mean)
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)

# Compute covariance matrix manually
cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0]
print("Covariance matrix:\n", cov_matrix)
copy

I koden ovenfor centrerer du manuelt dataene og beregner kovariansmatricen ved hjælp af matrixmultiplikation. Denne matrix viser, hvordan hvert par af egenskaber varierer sammen.

question mark

Hvilken påstand beskriver korrekt forholdet mellem varians, kovarians og kovariansmatricen

Select the correct answer

Var alt klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 2. Kapitel 1
some-alt