Handlingsværdi er et grundlæggende begreb i MAB-problemet. Det spiller en central rolle i forskellige algoritmer, herunder epsilon-grådig og øvre konfidensgrænse. Hovedformålet med en handlingsværdi er at give et estimat af den forventede belønning, når en bestemt handling vælges. Det ligner en tilstands-handlingsværdi, men er uafhængig af en tilstand på grund af MAB-problemet's tilstandsløse karakter.

Definition af handlingsværdi

Formelt repræsenterer handlingsværdien, betegnet som $Q(a)$, den forventede belønning ved at vælge handling $a$:

hvor:

• $R$ er den modtagne belønning;
• $A$ er den valgte handling.

Da den sande belønningsfordeling typisk er ukendt, er vi nødt til at estimere $Q(a)$ ved hjælp af observerede data.

Estimering af handlingsværdier

Der findes flere metoder til at estimere $Q(a)$ baseret på observerede belønninger. Den mest almindelige metode er gennemsnitlig stikprøveestimat, som beregner den gennemsnitlige belønning opnået ved at vælge handling $a$ op til tidspunkt $t$:

hvor:

• $Q_t(a)$ er den estimerede værdi af handling $a$ ved tidstrin $t$;
• $N_t(a)$ er antallet af gange handling $a$ er blevet valgt op til tidspunkt $t$;
• $R_i$ er belønningen opnået i hver forekomst, hvor handling $a$ blev udført.

Når flere stikprøver indsamles, vil dette estimat konvergere mod den sande forventede belønning $Q_*(a)$, forudsat at belønningsfordelingen forbliver stationær.

Inkrementel opdateringsregel

Selvom ovenstående formel kan bruges til at estimere handlingsværdier, kræver den, at alle tidligere belønninger gemmes, og at deres sum genberegnes ved hvert tidssteg. Med inkrementelle opdateringer bliver dette unødvendigt. Formlen for inkrementelle opdateringer kan udledes således:

hvor for en given handling:

• $Q_k$ er et estimat af den $k$-te belønning, som kan udtrykkes som gennemsnittet af de første $k-1$ belønninger;
• $R_k$ er den faktiske $k$-te belønning.

Intuition

Når man kender estimatet af den $k$-te belønning, $Q_k$, og den faktiske $k$-te belønning, $R_k$, kan fejlen måles som forskellen mellem disse værdier. Herefter kan det næste estimat beregnes ved at justere det forrige estimat en smule i retning af den faktiske belønning for at reducere fejlen.

Denne intuition fører til en anden formel, som ser således ud:

hvor $\alpha$ er en trin-størrelsesparameter, der styrer indlæringshastigheden. Ligesom i den forrige formel kan alfa være $\frac1k$, hvilket vil resultere i et stikprøvegennemsnit. Alternativt anvendes ofte en konstant $\alpha$, da det ikke kræver ekstra plads (til at gemme hvor mange gange en handling er udført) og muliggør tilpasning til ikke-stationære miljøer ved at lægge større vægt på nyere observationer.

Optimistisk initialisering

I begyndelsen af en træningsproces kan estimater for handlingsværdier variere betydeligt, hvilket kan føre til for tidlig udnyttelse. Dette betyder, at agenten kan udnytte sin indledende viden for tidligt og favorisere suboptimale handlinger baseret på begrænset erfaring. For at afbøde dette problem og fremme indledende udforskning er en enkel og effektiv teknik optimistisk initialisering.

Ved optimistisk initialisering initialiseres handlingsværdier til relativt høje værdier (f.eks. $Q_0(a) = 1$ i stedet for 0). Denne tilgang skaber indtrykket af, at alle handlinger er lovende fra starten. Som resultat bliver agenten tilskyndet til at udforske hver handling flere gange, før den vælger det bedste valg. Denne teknik er mest effektiv, når den anvendes sammen med konstant trin-størrelse.