Summary  
This chapter shows how to implement code to calculate conditional probability and Bayes’ theorem—computing joint, marginal, and posterior probabilities—and printing the results.

General domain of usage  
Medical testing

## Betinget sandsynlighed

Betinget sandsynlighed måler sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer, givet at en anden begivenhed allerede er indtruffet.

**Formel:**

$$
P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
$$

P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

**Fortolkning:**
hvis det regner, er der 50% sandsynlighed for, at du kommer for sent på arbejde.

## Bayes' sætning

Bayes' sætning hjælper med at finde $P(A|B)$, når det er vanskeligt at måle direkte, ved at relatere det til $P(B|A)$, som ofte er lettere at estimere.

**Formel:**

$$
P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}
$$

Hvor:

* $$P(A \mid B)$$ – sandsynligheden for A givet B (målet);
* $$P(B \mid A)$$ – sandsynligheden for B givet A;
* $$P(A)$$ – forudgående sandsynlighed for A;
* $$P(B)$$ – total sandsynlighed for B.

**Udvidelse af $$P(B)$$**

$$
P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)
$$

P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

**Fortolkning:**
Selv hvis testen er positiv, er der kun cirka 16,7% sandsynlighed for faktisk at have sygdommen.

## Vigtige pointer

* Betinget sandsynlighed bestemmer sandsynligheden for, at A sker, når vi ved, at B er indtruffet;
* Bayes' sætning vender betingede sandsynligheder for at opdatere antagelser, når direkte måling er vanskelig;
* Begge er essentielle inden for datavidenskab, medicinsk testning og maskinlæring.

Behersk de matematiske grundlag, der er essentielle for datavidenskab. Udforsk kernebegreber inden for funktioner, calculus, lineær algebra, sandsynlighed og dimensionsreduktion. Opbyg både teoretisk forståelse og praktisk kodningserfaring for at styrke din evne til at analysere data, modellere komplekse systemer og anvende avancerede teknikker inden for maskinlæring.

Undersøg grundlaget for matematiske funktioner. Lær om forskellige typer algebraiske og transcendentale funktioner, deres egenskaber, og hvordan de implementeres i Python til løsning af virkelige problemer.

Behersk begreberne mængder og rækker, fra grundlæggende operationer til praktiske anvendelser. Opnå praktisk erfaring med implementering af mængdeoperationer og arbejde med aritmetiske og geometriske rækker i Python.

Opnå et solidt kendskab til grænseværdier, differentialkvotienter, integraler og partialafledte. Forbind teori med praksis ved at implementere disse begreber i Python og anvende dem på optimering gennem gradientnedstigning.

Opbyg solid viden om vektorer, matricer og transformationer. Lær dekompositionsmetoder og egenværdianalyse, samtidig med at begreberne styrkes gennem Python-kodeudfordringer og praktiske data science-anvendelser.

Dyk ned i sandsynlighedsteori og statistik. Undersøg betinget sandsynlighed, Bayes' sætning og statistiske mål. Implementer centrale begreber i Python, simuler fordelinger, og styrk dine færdigheder gennem udfordringer og quizzer.

Implementering af Betinget Sandsynlighed og Bayes' Sætning i Python

Betinget sandsynlighed

Bayes' sætning

Vigtige pointer