Lære Implementering af Betinget Sandsynlighed og Bayes' Sætning i Python

Betinget sandsynlighed

Betinget sandsynlighed måler sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer, givet at en anden begivenhed allerede er indtruffet.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}


              12345
            
P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

Fortolkning: hvis det regner, er der 50% sandsynlighed for, at du kommer for sent på arbejde.

Bayes' sætning

Bayes' sætning hjælper med at finde $P(A|B)$, når det er vanskeligt at måle direkte, ved at relatere det til $P(B|A)$, som ofte er lettere at estimere.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Hvor:

$P(A \mid B)$ – sandsynligheden for A givet B (målet);
$P(B \mid A)$ – sandsynligheden for B givet A;
$P(A)$ – forudgående sandsynlighed for A;
$P(B)$ – total sandsynlighed for B.

Udvidelse af $P(B)$

P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)


              123456789101112
            
P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

Fortolkning: Selv hvis testen er positiv, er der kun cirka 16,7% sandsynlighed for faktisk at have sygdommen.

Vigtige pointer

Betinget sandsynlighed bestemmer sandsynligheden for, at A sker, når vi ved, at B er indtruffet;
Bayes' sætning vender betingede sandsynligheder for at opdatere antagelser, når direkte måling er vanskelig;
Begge er essentielle inden for datavidenskab, medicinsk testning og maskinlæring.

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 5. Kapitel 4

Spørg AI

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Suggested prompts:

Can you explain the difference between joint, marginal, and conditional probability?

How does Bayes' theorem help in real-world scenarios like medical testing?

Can you walk me through the calculations in the code examples step by step?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Stryg for at vise menuen

Betinget sandsynlighed

Betinget sandsynlighed måler sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer, givet at en anden begivenhed allerede er indtruffet.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}


              12345
            
P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

Fortolkning: hvis det regner, er der 50% sandsynlighed for, at du kommer for sent på arbejde.

Bayes' sætning

Bayes' sætning hjælper med at finde $P(A|B)$, når det er vanskeligt at måle direkte, ved at relatere det til $P(B|A)$, som ofte er lettere at estimere.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Hvor:

$P(A \mid B)$ – sandsynligheden for A givet B (målet);
$P(B \mid A)$ – sandsynligheden for B givet A;
$P(A)$ – forudgående sandsynlighed for A;
$P(B)$ – total sandsynlighed for B.

Udvidelse af $P(B)$

P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)


              123456789101112
            
P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

Fortolkning: Selv hvis testen er positiv, er der kun cirka 16,7% sandsynlighed for faktisk at have sygdommen.

Vigtige pointer

Betinget sandsynlighed bestemmer sandsynligheden for, at A sker, når vi ved, at B er indtruffet;
Bayes' sætning vender betingede sandsynligheder for at opdatere antagelser, når direkte måling er vanskelig;
Begge er essentielle inden for datavidenskab, medicinsk testning og maskinlæring.

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 5. Kapitel 4