Lære Forståelse af Sandsynlighedsgrundlæggende

Definition

Sandsynlighed er et mål for, hvor sandsynligt det er, at en begivenhed indtræffer. Det kvantificerer usikkerhed og er afgørende inden for områder som datavidenskab, statistik og maskinlæring, hvor det hjælper med at analysere mønstre, lave forudsigelser og vurdere risici.

Den grundlæggende definition af sandsynlighed

Sandsynligheden for, at en begivenhed $A$ indtræffer, gives ved:

P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Denne formel angiver, hvor mange måder vores ønskede begivenhed kan ske på i forhold til alle mulige udfald. Sandsynlighed ligger altid mellem 0 (umuligt) og 1 (sikkert).

Forståelse af udfaldsrum og begivenheder

Udfaldsrum – alle mulige udfald af et eksperiment;
Begivenhed – et specifikt udfald eller en mængde af udfald, vi er interesserede i.

Eksempel med at kaste en mønt:

Udfaldsrum = {Heads, Tails} ;
Begivenhed A = {Heads} .

Så:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Foreningsreglen: "A ELLER B sker"

Definition: Foreningen af to hændelser $A \cup B$ repræsenterer udfald, hvor enten $A$ indtræffer, eller $B$ indtræffer, eller begge indtræffer.

Formel:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Vi trækker snittet fra for at undgå dobbeltoptælling af udfald, der optræder i begge hændelser.

Forenings-eksempel: Kast med en terning

Vi kaster en seks-sidet terning:

Hændelse A = {1, 2, 3} (slag med et lille tal)
Hændelse B = {2, 4, 6} (slag med et lige tal)

Forening og snit:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Beregninger trin for trin:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Anvend foreningsformlen:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Snitreglen: "A OG B sker begge"

Definition: Snittet af to hændelser $A \cap B$ repræsenterer udfald, hvor både $A$ og $B$ indtræffer samtidigt.

Generel formel

I alle tilfælde:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

hvor $P(B|A)$ er den betingede sandsynlighed for $B$ givet at $A$ allerede er indtruffet.

Tilfælde 1: Uafhængige hændelser

Hvis hændelserne ikke påvirker hinanden (f.eks. at kaste en mønt og slå med en terning):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Eksempel:

$P(\text{Plat på en mønt}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 på en terning}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Så:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Tilfælde 2: Afhængige hændelser

Hvis resultatet af den første hændelse påvirker den anden (f.eks. at trække kort uden tilbagelægning):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Eksempel:

$P(\text{første kort er et es}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{andet kort er et es | første kort var et es}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Så:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 5. Kapitel 1

Spørg AI

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Suggested prompts:

Can you explain more about the difference between union and intersection in probability?

Could you give another example using Venn diagrams?

How do conditional probabilities fit into these rules?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Stryg for at vise menuen

Definition

Den grundlæggende definition af sandsynlighed

Sandsynligheden for, at en begivenhed $A$ indtræffer, gives ved:

P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Denne formel angiver, hvor mange måder vores ønskede begivenhed kan ske på i forhold til alle mulige udfald. Sandsynlighed ligger altid mellem 0 (umuligt) og 1 (sikkert).

Forståelse af udfaldsrum og begivenheder

Udfaldsrum – alle mulige udfald af et eksperiment;
Begivenhed – et specifikt udfald eller en mængde af udfald, vi er interesserede i.

Eksempel med at kaste en mønt:

Udfaldsrum = {Heads, Tails} ;
Begivenhed A = {Heads} .

Så:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Foreningsreglen: "A ELLER B sker"

Definition: Foreningen af to hændelser $A \cup B$ repræsenterer udfald, hvor enten $A$ indtræffer, eller $B$ indtræffer, eller begge indtræffer.

Formel:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Vi trækker snittet fra for at undgå dobbeltoptælling af udfald, der optræder i begge hændelser.

Forenings-eksempel: Kast med en terning

Vi kaster en seks-sidet terning:

Hændelse A = {1, 2, 3} (slag med et lille tal)
Hændelse B = {2, 4, 6} (slag med et lige tal)

Forening og snit:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Beregninger trin for trin:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Anvend foreningsformlen:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Snitreglen: "A OG B sker begge"

Definition: Snittet af to hændelser $A \cap B$ repræsenterer udfald, hvor både $A$ og $B$ indtræffer samtidigt.

Generel formel

I alle tilfælde:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

hvor $P(B|A)$ er den betingede sandsynlighed for $B$ givet at $A$ allerede er indtruffet.

Tilfælde 1: Uafhængige hændelser

Hvis hændelserne ikke påvirker hinanden (f.eks. at kaste en mønt og slå med en terning):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Eksempel:

$P(\text{Plat på en mønt}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 på en terning}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Så:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Tilfælde 2: Afhængige hændelser

Hvis resultatet af den første hændelse påvirker den anden (f.eks. at trække kort uden tilbagelægning):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Eksempel:

$P(\text{første kort er et es}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{andet kort er et es | første kort var et es}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Så:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 5. Kapitel 1