Lære Forståelse af Betinget Sandsynlighed og Bayes' Sætning

Betinget sandsynlighed

Betinget sandsynlighed måler sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer, givet at en anden begivenhed allerede er indtruffet.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

hvor:

$P(A \mid B)$ betyder "sandsynligheden for A givet B";
$P(A \cap B)$ er sandsynligheden for, at både A og B indtræffer;
$P(B)$ er sandsynligheden for, at B indtræffer (skal være > 0).

Eksempel 1: Betinget sandsynlighed — Vejr og trafik

Antag:

Begivenhed A: "Jeg kommer for sent på arbejde";
Begivenhed B: "Det regner".

Givet:

$P(A \cap B) = 0.10$ (10% sandsynlighed for at det regner OG jeg kommer for sent);
$P(B) = 0.20$ (20% sandsynlighed for at det regner på en given dag).

Så:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.10}{0.20} = 0.5

Fortolkning:
Hvis det regner, er der 50% sandsynlighed for, at jeg kommer for sent på arbejde.

Bayes' sætning

Bayes' sætning hjælper med at finde $P(A \mid B)$ , når det er svært at måle direkte, ved at relatere det til $P(B \mid A)$ .

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Trin-for-trin Gennemgang

Trin 1: Forståelse af $P(A \mid B)$
Dette læses som "sandsynligheden for A givet B".

Eksempel: Hvis A = "at have en sygdom" og B = "tester positiv", så spørger $P(A \mid B)$ :
Givet en positiv test, hvad er sandsynligheden for, at personen faktisk har sygdommen?

Trin 2: Tæller = $P(B \mid A) \cdot P(A)$

$P(B \mid A)$ = sandsynligheden for at teste positiv, hvis du har sygdommen (testens sensitivitet);
$P(A)$ = forudgående sandsynlighed for A (sygdomsprævalens).

Trin 3: Nævner = $P(B)$
Dette er den samlede sandsynlighed for, at B indtræffer (tester positiv), både fra sande positive og falske positive.

Uddybning:

P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid \neg A)P(\neg A)

Hvor:

$P(B \mid \neg A)$ = falsk positiv-rate;
$P(\neg A)$ = sandsynligheden for ikke at have sygdommen.

Bayes' Sætning — Medicinsk Test

Antag:

Begivenhed A: "At have en sygdom";
Begivenhed B: "Tester positiv".

Givet:

Sygdomsprævalens: $P(A) = 0.01$ ;
Sensitivitet: $P(B \mid A) = 0.99$ ;
Falsk positiv-rate: $P(B \mid \neg A) = 0.05$ .

Trin 1: Beregn den samlede sandsynlighed for at teste positiv

P(B) = (0.99)(0.01) + (0.05)(0.99) = 0.0594

Trin 2: Anvend Bayes' Sætning

P(A \mid B) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0594} \approx 0.167

Fortolkning:
Selv hvis du tester positiv, er der kun cirka 16,7% sandsynlighed for faktisk at have sygdommen — fordi sygdommen er sjælden, og der forekommer falske positive.

Vigtige pointer

Betinget sandsynlighed bestemmer sandsynligheden for, at A sker, når vi ved, at B er indtruffet;
Bayes' sætning vender betingede sandsynligheder om, så vi kan opdatere vores antagelser, når direkte måling er vanskelig;
Begge begreber er essentielle inden for datavidenskab, maskinlæring, medicinske tests og beslutningstagning.

Bemærk

Tænk på Bayes' sætning som: "Sandsynligheden for A givet B er lig med sandsynligheden for, at B sker, hvis A er sand, multipliceret med hvor sandsynlig A er, divideret med hvor sandsynlig B er samlet set."

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 5. Kapitel 3

Spørg AI

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Stryg for at vise menuen

Betinget sandsynlighed

Betinget sandsynlighed måler sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer, givet at en anden begivenhed allerede er indtruffet.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

hvor:

$P(A \mid B)$ betyder "sandsynligheden for A givet B";
$P(A \cap B)$ er sandsynligheden for, at både A og B indtræffer;
$P(B)$ er sandsynligheden for, at B indtræffer (skal være > 0).

Eksempel 1: Betinget sandsynlighed — Vejr og trafik

Antag:

Begivenhed A: "Jeg kommer for sent på arbejde";
Begivenhed B: "Det regner".

Givet:

$P(A \cap B) = 0.10$ (10% sandsynlighed for at det regner OG jeg kommer for sent);
$P(B) = 0.20$ (20% sandsynlighed for at det regner på en given dag).

Så:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.10}{0.20} = 0.5

Fortolkning:
Hvis det regner, er der 50% sandsynlighed for, at jeg kommer for sent på arbejde.

Bayes' sætning

Bayes' sætning hjælper med at finde $P(A \mid B)$ , når det er svært at måle direkte, ved at relatere det til $P(B \mid A)$ .

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Trin-for-trin Gennemgang

Trin 1: Forståelse af $P(A \mid B)$
Dette læses som "sandsynligheden for A givet B".

Eksempel: Hvis A = "at have en sygdom" og B = "tester positiv", så spørger $P(A \mid B)$ :
Givet en positiv test, hvad er sandsynligheden for, at personen faktisk har sygdommen?

Trin 2: Tæller = $P(B \mid A) \cdot P(A)$

$P(B \mid A)$ = sandsynligheden for at teste positiv, hvis du har sygdommen (testens sensitivitet);
$P(A)$ = forudgående sandsynlighed for A (sygdomsprævalens).

Trin 3: Nævner = $P(B)$
Dette er den samlede sandsynlighed for, at B indtræffer (tester positiv), både fra sande positive og falske positive.

Uddybning:

P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid \neg A)P(\neg A)

Hvor:

$P(B \mid \neg A)$ = falsk positiv-rate;
$P(\neg A)$ = sandsynligheden for ikke at have sygdommen.

Bayes' Sætning — Medicinsk Test

Antag:

Begivenhed A: "At have en sygdom";
Begivenhed B: "Tester positiv".

Givet:

Sygdomsprævalens: $P(A) = 0.01$ ;
Sensitivitet: $P(B \mid A) = 0.99$ ;
Falsk positiv-rate: $P(B \mid \neg A) = 0.05$ .

Trin 1: Beregn den samlede sandsynlighed for at teste positiv

P(B) = (0.99)(0.01) + (0.05)(0.99) = 0.0594

Trin 2: Anvend Bayes' Sætning

P(A \mid B) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0594} \approx 0.167

Fortolkning:
Selv hvis du tester positiv, er der kun cirka 16,7% sandsynlighed for faktisk at have sygdommen — fordi sygdommen er sjælden, og der forekommer falske positive.

Vigtige pointer

Betinget sandsynlighed bestemmer sandsynligheden for, at A sker, når vi ved, at B er indtruffet;
Bayes' sætning vender betingede sandsynligheder om, så vi kan opdatere vores antagelser, når direkte måling er vanskelig;
Begge begreber er essentielle inden for datavidenskab, maskinlæring, medicinske tests og beslutningstagning.

Bemærk

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 5. Kapitel 3