Typer og egenskaber

1. Identitetsfunktion

Form: $f(x) = x$

Egenskaber:

• Går gennem origo $(0, 0)$;
• En ret linje med hældning $m = 1$;
• Hvert input svarer til sig selv;
• Ingen maksimum eller minimum;
• Definitionsmængde: $(-\infty, \infty)$;
• Værdimængde: $(-\infty, \infty)$.

Anvendelse: repræsenterer uændrede data eller som reference ved transformationer.

2. Konstant funktion

Form: $f(x) = c$

Egenskaber:

• En vandret linje ved $y = c$;
• Output forbliver konstant for alle input;
• Hældning: $m = 0$;
• Ingen maksimum eller minimum;
• Definitionsmængde: $(-\infty, \infty)$;
• Værdimængde: ${c}$.

Anvendelse: repræsentation af faste størrelser såsom basisværdier eller faste gebyrer.

3. Lineær funktion

Form: $f(x) = mx + b$

Egenskaber:

• En ret linje med hældning $m$;
• Voksende hvis $m > 0$, aftagende hvis $m < 0$;
• X-akse skæring: $x = -\frac{b}{m}$;
• Y-akse skæring: $y = b$;
• Ingen maksimum eller minimum;
• Definitionsmængde: $(-\infty, \infty)$;
• Værdimængde: $(-\infty, \infty)$.

Anvendelse: forudsigelse af kontinuerlige resultater såsom omsætning eller omkostninger.

4. Polynomiel funktion (kvadratisk eksempel)

Form: $f(x) = ax^2 + bx + c$

Egenskaber:

• Parabelkurve (U-formet hvis $a > 0$; omvendt U hvis $a < 0$);
• Toppunkt ved $x = -\frac{b}{2a}$;
• X-akse skæringer (rødder): $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$;
• Y-akse skæring: $f(0) = c$;
• Definitionsmængde: $(-\infty, \infty)$;
• Værdimængde:
• Hvis $a > 0$, så $[y_{vertex}; \infty)$;
  • Hvis $a < 0$, så $(-\infty; y_{vertex}]$.

Anvendelse: kurvetilpasning, regressionsmodeller og beskrivelse af ikke-lineære tendenser.

5. Rationel funktion

Form: $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$

Eksempel: $f(x) = \frac{1}{x - 1}$

Egenskaber:

• Vertikal asymptote ved $x = 1$;
• Horisontal asymptote ved $y = 0$;
• Udefineret ved $x = 1$;
• Kraftig stigning og fald nær asymptoten;
• Definitionsmængde: $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$;
• Værdimængde: $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

Anvendelse: modellering af begrænsede systemer såsom ændringsrater eller ressourceudnyttelse.