Lære Transcendentale Funktioner | Funktioner og Deres Egenskaber

Definition

Transcendentale funktioner er funktioner, der ikke kan udtrykkes som en endelig kombination af algebraiske operationer (for eksempel addition, subtraktion, multiplikation, division og rødder).

Typer og egenskaber

1. Eksponentiel funktion

Form:

f(x) = a \cdot e^{b(x - c)} + d

$a$ : amplitude, skalerer kurven lodret;
$b$ : vækst- eller henfaldsrate, bestemmer hvor hurtigt funktionen vokser eller aftager;
$c$ : horisontal forskydning, flytter kurven til venstre eller højre;
$d$ : vertikal forskydning, flytter grafen op eller ned.

Egenskaber:

Vokser hurtigt når $b > 0$ ;
Aftager mod nul når $b < 0$ ;
Altid positiv for alle $x$ ;
Går gennem punktet $(c, a + d)$ ;
Definitionsmængde: $(-\infty, \infty)$ ;
Værdimængde: $(d, \infty)$ hvis $a > 0$ , eller $(-\infty, d)$ hvis $a < 0$ .

Anvendelse: modellering af befolkningsvækst, radioaktivt henfald og renters rente.

2. Logaritmisk funktion

Form:

f(x) = a \log_b(x - c) + d

$a$ : amplitude, strækker eller komprimerer kurven lodret;
$b$ : grundtal, bestemmer vækst- eller henfaldsrate;
$c$ : horisontal forskydning, flytter grafen til venstre eller højre;
$d$ : vertikal forskydning, flytter grafen op eller ned.

Egenskaber:

Defineret kun for $x > c$ ;
Vokser langsomt, når $x$ stiger;
Nærmer sig minus uendelig tæt på $x = c$ ;
Går gennem punktet $(c + 1, d)$ ;
Definitionsmængde: $(c, \infty)$ ;
Værdimængde: $(-\infty, \infty)$ .

Anvendelse: måling af data med multiplikative ændringer, såsom pH, lydintensitet eller jordskælvsmagnitude.

3. Trigonometrisk funktion

Form:

f(x) = a \cdot \text{trig}(b x - c) + d

hvor $\text{trig}$ kan være $\sin$ , $\cos$ eller $\tan$ .

$a$ : amplitude, styrer bølgens højde;
$b$ : antal cyklusser, definerer hvor mange svingninger der forekommer i en periode;
$c$ : horisontal forskydning, flytter bølgen til venstre eller højre;
$d$ : vertikal forskydning, flytter grafen op eller ned.

Adfærd:

Sinus og cosinus: oscillerer periodisk mellem $-a + d$ og $a + d$ ;
Tangens: gentages for hver $\pi$ og har vertikale asymptoter ved $x = \frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b$ ;
Alle er periodiske og kontinuerte inden for deres definitionsmængder;
Definitionsmængde og værdimængde:
- $\sin(x), \cos(x)$ : definitionsmængde $(-\infty, \infty)$ , værdimængde $[d - a, d + a]$ ;
- $\tan(x)$ : definitionsmængde $\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b} \right\}$ , værdimængde $(-\infty, \infty)$ .

Anvendelse: modellering af cyklusser og svingninger i signalbehandling, fysik og ingeniørvidenskab.

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 1. Kapitel 8

Spørg AI

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Suggested prompts:

Can you explain the differences between exponential, logarithmic, and trigonometric functions in more detail?

What are some real-world examples where each type of transcendental function is used?

Can you show how to graph these functions with specific parameter values?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Stryg for at vise menuen

Definition

Transcendentale funktioner er funktioner, der ikke kan udtrykkes som en endelig kombination af algebraiske operationer (for eksempel addition, subtraktion, multiplikation, division og rødder).

Typer og egenskaber

1. Eksponentiel funktion

Form:

f(x) = a \cdot e^{b(x - c)} + d

$a$ : amplitude, skalerer kurven lodret;
$b$ : vækst- eller henfaldsrate, bestemmer hvor hurtigt funktionen vokser eller aftager;
$c$ : horisontal forskydning, flytter kurven til venstre eller højre;
$d$ : vertikal forskydning, flytter grafen op eller ned.

Egenskaber:

Vokser hurtigt når $b > 0$ ;
Aftager mod nul når $b < 0$ ;
Altid positiv for alle $x$ ;
Går gennem punktet $(c, a + d)$ ;
Definitionsmængde: $(-\infty, \infty)$ ;
Værdimængde: $(d, \infty)$ hvis $a > 0$ , eller $(-\infty, d)$ hvis $a < 0$ .

Anvendelse: modellering af befolkningsvækst, radioaktivt henfald og renters rente.

2. Logaritmisk funktion

Form:

f(x) = a \log_b(x - c) + d

$a$ : amplitude, strækker eller komprimerer kurven lodret;
$b$ : grundtal, bestemmer vækst- eller henfaldsrate;
$c$ : horisontal forskydning, flytter grafen til venstre eller højre;
$d$ : vertikal forskydning, flytter grafen op eller ned.

Egenskaber:

Defineret kun for $x > c$ ;
Vokser langsomt, når $x$ stiger;
Nærmer sig minus uendelig tæt på $x = c$ ;
Går gennem punktet $(c + 1, d)$ ;
Definitionsmængde: $(c, \infty)$ ;
Værdimængde: $(-\infty, \infty)$ .

Anvendelse: måling af data med multiplikative ændringer, såsom pH, lydintensitet eller jordskælvsmagnitude.

3. Trigonometrisk funktion

Form:

f(x) = a \cdot \text{trig}(b x - c) + d

hvor $\text{trig}$ kan være $\sin$ , $\cos$ eller $\tan$ .

$a$ : amplitude, styrer bølgens højde;
$b$ : antal cyklusser, definerer hvor mange svingninger der forekommer i en periode;
$c$ : horisontal forskydning, flytter bølgen til venstre eller højre;
$d$ : vertikal forskydning, flytter grafen op eller ned.

Adfærd:

Sinus og cosinus: oscillerer periodisk mellem $-a + d$ og $a + d$ ;
Tangens: gentages for hver $\pi$ og har vertikale asymptoter ved $x = \frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b$ ;
Alle er periodiske og kontinuerte inden for deres definitionsmængder;
Definitionsmængde og værdimængde:
- $\sin(x), \cos(x)$ : definitionsmængde $(-\infty, \infty)$ , værdimængde $[d - a, d + a]$ ;
- $\tan(x)$ : definitionsmængde $\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b} \right\}$ , værdimængde $(-\infty, \infty)$ .

Anvendelse: modellering af cyklusser og svingninger i signalbehandling, fysik og ingeniørvidenskab.

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 1. Kapitel 8