Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lære Introduktion til Matrixtransformationer | Grundlæggende Lineær Algebra
Matematik for Datavidenskab

bookIntroduktion til Matrixtransformationer

Matrixligninger

En matrixligning kan skrives som:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Hvor:

  • AA er koefficientmatricen;
  • x⃗\vec{x} er variabelvektoren;
  • b⃗\vec{b} er konstantvektoren.

Matrixrepræsentation af lineære systemer

Betragt det lineære system:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Dette kan omskrives som:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Gennemgang af matrixmultiplikation

Multiplikationen af en matrix med en vektor repræsenterer en lineær kombination:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Eksempelsystem i matrixform

Systemet:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Kan udtrykkes som:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matricer som transformationer

En matrix transformerer vektorer i rummet.

For eksempel:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Denne matrix definerer, hvordan akserne transformeres under multiplikation.

Skalering med matricer

For at anvende skalering på en vektor bruges:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Hvor:

  • sxs_x - skaleringsfaktor i x-retningen;
  • sys_y - skaleringsfaktor i y-retningen.

Eksempel: skalering af punktet (2, 3) med 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Så:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotation med matricer

For at rotere en vektor med vinklen θ\theta omkring origo:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Eksempel: roter (2, 3) med 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Så:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Spejling over x-aksen

Spejlingsmatrix:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Ved brug af v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Forskydningstransformation (forskydning i x-retning)

Forskydning flytter én akse baseret på den anden.

For at forskyde i x-retningen:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Hvis k=1.5k = 1.5 og v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identitetstransformation

Identitetsmatricen udfører ingen transformation:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

For enhver vektor v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Hvad er matrixformen for dette ligningssystem?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

Var alt klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 4. Kapitel 5

Spørg AI

expand

Spørg AI

ChatGPT

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Suggested prompts:

Can you explain how to solve a matrix equation for the variables?

What are some real-world applications of matrices and matrix transformations?

Can you show more examples of matrix transformations like rotation or scaling?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookIntroduktion til Matrixtransformationer

Stryg for at vise menuen

Matrixligninger

En matrixligning kan skrives som:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Hvor:

  • AA er koefficientmatricen;
  • x⃗\vec{x} er variabelvektoren;
  • b⃗\vec{b} er konstantvektoren.

Matrixrepræsentation af lineære systemer

Betragt det lineære system:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Dette kan omskrives som:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Gennemgang af matrixmultiplikation

Multiplikationen af en matrix med en vektor repræsenterer en lineær kombination:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Eksempelsystem i matrixform

Systemet:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Kan udtrykkes som:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matricer som transformationer

En matrix transformerer vektorer i rummet.

For eksempel:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Denne matrix definerer, hvordan akserne transformeres under multiplikation.

Skalering med matricer

For at anvende skalering på en vektor bruges:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Hvor:

  • sxs_x - skaleringsfaktor i x-retningen;
  • sys_y - skaleringsfaktor i y-retningen.

Eksempel: skalering af punktet (2, 3) med 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Så:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotation med matricer

For at rotere en vektor med vinklen θ\theta omkring origo:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Eksempel: roter (2, 3) med 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Så:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Spejling over x-aksen

Spejlingsmatrix:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Ved brug af v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Forskydningstransformation (forskydning i x-retning)

Forskydning flytter én akse baseret på den anden.

For at forskyde i x-retningen:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Hvis k=1.5k = 1.5 og v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identitetstransformation

Identitetsmatricen udfører ingen transformation:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

For enhver vektor v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Hvad er matrixformen for dette ligningssystem?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

Var alt klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 4. Kapitel 5
some-alt