Lære Introduktion til Matrixtransformationer | Grundlæggende Lineær Algebra

Stryg for at vise menuen

Matrixligninger

En matrixligning kan skrives som:

A \vec{x} = \vec{b}

Hvor:

Betragt det lineære system:

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Dette kan omskrives som:

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Multiplikationen af en matrix med en vektor repræsenterer en lineær kombination:

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Systemet:

3x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Kan udtrykkes som:

\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

En matrix transformerer vektorer i rummet.

For eksempel:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Denne matrix definerer, hvordan akserne transformeres under multiplikation.

For at anvende skalering på en vektor bruges:

S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Hvor:

Eksempel: skalering af punktet (2, 3) med 2:

S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Så:

S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

For at rotere en vektor med vinklen $\theta$ omkring origo:

R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Eksempel: roter (2, 3) med 90°:

R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Så:

R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Spejlingsmatrix:

M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Ved brug af $\vec{v} = (2, 3)$ :

M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Forskydning flytter én akse baseret på den anden.

For at forskyde i x-retningen:

M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Hvis $k = 1.5$ og $\vec{v} = (2, 3)$ :

M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identitetsmatricen udfører ingen transformation:

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

For enhver vektor $\vec{v}$ :

I \vec{v} = \vec{v}

Hvad er matrixformen for dette ligningssystem?

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 4. Kapitel 5

Spørg AI

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Sektion 4. Kapitel 5