Introduktion til Egenvektorer og Egenværdier

Hvad er egenvektorer og egenværdier?

En egenvektor er en ikke-nul-vektor, der kun ændrer størrelse, når en matrix anvendes på den. Den tilsvarende skalarværdi, der beskriver denne ændring, er egenværdien.

$$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$$

Hvor:

• $A$ er en kvadratisk matrix;
• $\lambda$ er egenværdien;
• $\vec{v}$ er egenvektoren.

Eksempel på matrix og opsætning

Antag:

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

Vi ønsker at finde værdier af $\lambda$ og vektorer $\vec{v}$ således at:

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Karakteristisk ligning

For at finde $\lambda$, løs den karakteristiske ligning:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Indsæt:

$$\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0$$

Beregn determinanten:

$$(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0$$

Løs:

$$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2$$

Find egenvektorer

Løs nu for hver $\lambda$.

For $\lambda = 5$:

Subtraher:

$$(A - 5I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Løs:

$$v_1 = v_2$$

Altså:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

For $\lambda = 2$:

Subtraher:

$$(A - 2I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Løs:

$$v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2$$

Altså:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

Bekræft egenparret

Når du har en egenværdi $\lambda$ og en egenvektor $\vec{v}$, verificer at:

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Eksempel:

$$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Eksempel:

$$\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$$

er også en egenvektor for $\lambda = 5$.

Diagonalisering (Avanceret)

Hvis en matrix $A$ har $n$ lineært uafhængige egenvektorer, kan den diagonaliseres:

$$A = PDP^{-1}$$

Hvor:

• $P$ er matricen med egenvektorer som søjler;
• $D$ er en diagonal matrix med egenværdier;
• $P^{-1}$ er den inverse af $P$.

Diagonalisation kan bekræftes ved at kontrollere $A = PDP^{-1}$.
Dette er nyttigt til at beregne potenser af $A$:

Eksempel

Lad:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

Find egenværdier:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Løs:

$$\lambda = 3, \; \lambda = 2$$

Find egenvektorer:

For $\lambda = 3$:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

For $\lambda = 2$:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Konstruer $P, D$ og $P^{-1}$:

$$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Beregning:

$$PDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A$$

Bekræftet.

Betydning:

Til beregning af potenser af $A$, såsom $A^k$. Da $D$ er diagonal:

$$A^k = P D^k P^{-1}$$

Dette gør beregning af matrixpotenser meget hurtigere.

Vigtige Bemærkninger

• Egenværdier og egenvektorer er retninger, der forbliver uændrede under transformation;
• $\lambda$ strækker $\vec{v}$;
• $\lambda = 1$ holder $\vec{v}$ uændret i størrelse.