En studerende analyserer et simpelt netværk, hvor flowbalancen kan repræsenteres som et system af lineære ligninger:

Hvor:

• $A$ er en $3 \times 3$ koefficientmatrix;
• $\vec{b}$ er en vektor af kendte størrelser;
• $\vec{x}$ er vektoren af ubekendte, der skal bestemmes.

Målet er at bestemme $\vec{x}$ ved at udføre en LU-dekomponering af matrix $A$, efterfulgt af fremad og tilbage substitution. Til sidst skal du sammenligne dit beregnede resultat med NumPys indbyggede solver for at bekræfte korrektheden.

Opgave:

1. Fuldfør Python-koden til at:
   • Udføre LU-dekomponering ved at udfylde de manglende udtryk for $L$ og $U$.

• Implementere fremad substitution for at løse $L\vec{y} = \vec{b}$.
• Implementere tilbage substitution for at løse $U\vec{x} = \vec{y}$.

2. Sammenlign dit resultat med np.linalg.solve() for at verificere nøjagtigheden.