Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lære Introduktion til Vektorer | Grundlæggende Lineær Algebra
Matematik for Datavidenskab

bookIntroduktion til Vektorer

Note
Definition

En vektor er et matematisk objekt, der repræsenterer både retning og størrelse i rummet. I datavidenskab bruges vektorer til at beskrive datapunkter, egenskaber og modelparametre såsom vægte.

Hvad er en vektor?

En vektor er et ordnet par af tal med både størrelse og retning.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Vektorer tegnes ofte som pile fra origo til et punkt i rummet. To vektorer betragtes som ens, hvis de har samme retning og længde, selvom de starter forskellige steder.

Nulvektoren

Nulvektoren har ingen længde og ingen retning. Den skrives som:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Vektoraddition og -subtraktion

Addition

For at lægge to vektorer sammen, lægges deres tilsvarende komponenter sammen:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Dette kan visualiseres med:

  • Hale-til-hoved-metoden: flyt halen af den ene vektor til hovedet af den anden;
  • Parallelogrammetoden: begge vektorer starter fra samme punkt og danner et parallelogram.

Subtraktion

For at trække én vektor fra en anden:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Dette giver en ny vektor, der peger fra hovedet af den anden til hovedet af den første.

Skalarmultiplikation

Multiplikation af en vektor med et tal (en skalar) strækker eller vender vektoren:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Hvis k>1k > 1, strækkes vektoren i samme retning;
  • Hvis 0<k<10 < k < 1, formindskes vektoren;
  • Hvis k<0k < 0, vendes retningen;
  • Hvis k=0k = 0, bliver det nulvektoren.

Vektorlængde (Magnitude)

Størrelsen eller længden af en vektor beregnes med Pythagoras' sætning:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Dette angiver den rette linjeafstand fra origo til vektorens spids.

Prikproduktet

Prikproduktet kombinerer to vektorer til et enkelt tal, der afspejler, hvor meget de peger i samme retning:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Hvis resultatet er positivt: vektorerne peger i nogenlunde samme retning;
  • Hvis resultatet er nul: vektorerne er vinkelrette;
  • Hvis resultatet er negativt: de peger i modsatte retninger.

Eksempel

Hvis a⃗=(1,2)  og  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{og}\ \ \vec{b} = (3, 4), så:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
question mark

Hvis a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Så er deres prikprodukt:

Select the correct answer

Var alt klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 4. Kapitel 1

Spørg AI

expand

Spørg AI

ChatGPT

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookIntroduktion til Vektorer

Stryg for at vise menuen

Note
Definition

En vektor er et matematisk objekt, der repræsenterer både retning og størrelse i rummet. I datavidenskab bruges vektorer til at beskrive datapunkter, egenskaber og modelparametre såsom vægte.

Hvad er en vektor?

En vektor er et ordnet par af tal med både størrelse og retning.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Vektorer tegnes ofte som pile fra origo til et punkt i rummet. To vektorer betragtes som ens, hvis de har samme retning og længde, selvom de starter forskellige steder.

Nulvektoren

Nulvektoren har ingen længde og ingen retning. Den skrives som:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Vektoraddition og -subtraktion

Addition

For at lægge to vektorer sammen, lægges deres tilsvarende komponenter sammen:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Dette kan visualiseres med:

  • Hale-til-hoved-metoden: flyt halen af den ene vektor til hovedet af den anden;
  • Parallelogrammetoden: begge vektorer starter fra samme punkt og danner et parallelogram.

Subtraktion

For at trække én vektor fra en anden:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Dette giver en ny vektor, der peger fra hovedet af den anden til hovedet af den første.

Skalarmultiplikation

Multiplikation af en vektor med et tal (en skalar) strækker eller vender vektoren:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Hvis k>1k > 1, strækkes vektoren i samme retning;
  • Hvis 0<k<10 < k < 1, formindskes vektoren;
  • Hvis k<0k < 0, vendes retningen;
  • Hvis k=0k = 0, bliver det nulvektoren.

Vektorlængde (Magnitude)

Størrelsen eller længden af en vektor beregnes med Pythagoras' sætning:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Dette angiver den rette linjeafstand fra origo til vektorens spids.

Prikproduktet

Prikproduktet kombinerer to vektorer til et enkelt tal, der afspejler, hvor meget de peger i samme retning:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Hvis resultatet er positivt: vektorerne peger i nogenlunde samme retning;
  • Hvis resultatet er nul: vektorerne er vinkelrette;
  • Hvis resultatet er negativt: de peger i modsatte retninger.

Eksempel

Hvis a⃗=(1,2)  og  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{og}\ \ \vec{b} = (3, 4), så:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
question mark

Hvis a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Så er deres prikprodukt:

Select the correct answer

Var alt klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 4. Kapitel 1
some-alt