Lære Matrixoperationer | Grundlæggende Lineær Algebra

Definition

En matrix er et rektangulært array af tal arrangeret i rækker og kolonner, anvendt til effektiv repræsentation og løsning af matematiske problemer.

Før vi går videre til lineære systemer som $A\vec{x} = \vec{b}$ , er det vigtigt at forstå, hvordan matricer opfører sig, og hvilke operationer vi kan udføre på dem.

Matrixaddition

To matricer kan kun lægges sammen, hvis de har samme form (samme antal rækker og kolonner).

Lad:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Så gælder:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Skalarmultiplikation

Du kan også multiplicere en matrix med en skalar (enkelt tal):

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Matrixmultiplikation og størrelseskompatibilitet

Matrixmultiplikation er en række-gange-kolonne operation, ikke elementvis.

Regel: hvis matrix $A$ har dimension $(m \times n)$ og matrix $B$ har dimension $(n \times p)$ , så gælder:

Multiplikationen $AB$ er gyldig;
Resultatet bliver en matrix med dimension $(m \times p)$ .

Eksempel:

Lad:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ er $(2 \times 2)$ og $B$ er $(2 \times 1)$ , så er $AB$ gyldig og giver en $(2 \times 1)$ matrix:

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Transponering af en matrix

Transponeringen af en matrix bytter rækker og kolonner. Det betegnes som $A^T$ .

Lad:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Så gælder:

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Egenskaber:

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Determinanten af en matrix

2×2 matrix

For:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Determinanten er:

\det(A) = ad - bc

3×3 matrix

For:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Determinanten er:

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Denne metode kaldes cofaktorudvikling.

Større matricer (4×4 og opefter) kan udvides rekursivt.
Determinanten er nyttig, fordi den angiver, om en matrix har en invers (ikke-nul determinant).

Inversen af en matrix

Inversen af en kvadratisk matrix $A$ betegnes som $A^{-1}$ . Den opfylder $A \cdot A^{-1} = I$ , hvor $I$ er identitetsmatricen.

Kun kvadratiske matricer med ikke-nul determinant har en invers.

Eksempel:

Hvis matrix A er:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Så er dens inverse matrix $A^{-1}$ :

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Hvor $\det(A) \neq 0$ .

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 4. Kapitel 3

Spørg AI

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Stryg for at vise menuen

Definition

En matrix er et rektangulært array af tal arrangeret i rækker og kolonner, anvendt til effektiv repræsentation og løsning af matematiske problemer.

Før vi går videre til lineære systemer som $A\vec{x} = \vec{b}$ , er det vigtigt at forstå, hvordan matricer opfører sig, og hvilke operationer vi kan udføre på dem.

Matrixaddition

To matricer kan kun lægges sammen, hvis de har samme form (samme antal rækker og kolonner).

Lad:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Så gælder:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Skalarmultiplikation

Du kan også multiplicere en matrix med en skalar (enkelt tal):

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Matrixmultiplikation og størrelseskompatibilitet

Matrixmultiplikation er en række-gange-kolonne operation, ikke elementvis.

Regel: hvis matrix $A$ har dimension $(m \times n)$ og matrix $B$ har dimension $(n \times p)$ , så gælder:

Multiplikationen $AB$ er gyldig;
Resultatet bliver en matrix med dimension $(m \times p)$ .

Eksempel:

Lad:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ er $(2 \times 2)$ og $B$ er $(2 \times 1)$ , så er $AB$ gyldig og giver en $(2 \times 1)$ matrix:

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Transponering af en matrix

Transponeringen af en matrix bytter rækker og kolonner. Det betegnes som $A^T$ .

Lad:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Så gælder:

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Egenskaber:

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Determinanten af en matrix

2×2 matrix

For:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Determinanten er:

\det(A) = ad - bc

3×3 matrix

For:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Determinanten er:

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Denne metode kaldes cofaktorudvikling.

Større matricer (4×4 og opefter) kan udvides rekursivt.
Determinanten er nyttig, fordi den angiver, om en matrix har en invers (ikke-nul determinant).

Inversen af en matrix

Inversen af en kvadratisk matrix $A$ betegnes som $A^{-1}$ . Den opfylder $A \cdot A^{-1} = I$ , hvor $I$ er identitetsmatricen.

Kun kvadratiske matricer med ikke-nul determinant har en invers.

Eksempel:

Hvis matrix A er:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Så er dens inverse matrix $A^{-1}$ :

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Hvor $\det(A) \neq 0$ .

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 4. Kapitel 3