Summary  
This chapter demonstrates how to decompose a matrix into lower and upper triangular factors (LU) and into orthogonal and upper triangular factors (QR) using Python libraries, then verifies each decomposition by reconstructing the original matrix.

General domain of usage  
Numerical linear algebra

Matrixdekompositionsteknikker er væsentlige værktøjer i numerisk lineær algebra, der muliggør løsninger af ligningssystemer, stabilitetsanalyse og matrixinversion.

## Udførelse af LU-dekomposition

**LU-dekomposition** opdeler en matrix i:

* `L`: nedre trekantsmatrix;
* `U`: øvre trekantsmatrix;
* `P`: permutationsmatrix til at tage højde for rækkebytninger.

import numpy as np
from scipy.linalg import lu

# Define a 2x2 matrix A
A = np.array([[6, 3],
              [4, 3]])

# Perform LU decomposition: P, L, U such that P @ A = L @ U
P, L, U = lu(A)

# Verify that P @ A equals L @ U by reconstructing A from L and U
print(f'L * U:\n{np.dot(L, U)}')

**Hvorfor dette er vigtigt**: LU-dekomponering anvendes i vid udstrækning i numeriske metoder til effektiv løsning af lineære ligningssystemer og inversion af matricer.

## Udførelse af QR-dekomponering

QR-dekomponering faktoriserer en matrix i:

* `Q`: Ortogonal matrix (bevarer vinkler/længder);
* `R`: Øvre trekantet matrix.

import numpy as np
from scipy.linalg import qr

# Define a 2x2 matrix A
A = np.array([[4, 3],
              [6, 3]])

# Perform QR decomposition: Q (orthogonal), R (upper triangular)
Q, R = qr(A)

# Verify that Q @ R equals A by reconstructing A from Q and R
print(f'Q * R:\n{np.dot(Q, R)}')

**Hvorfor dette er vigtigt**: QR anvendes ofte til at løse mindste kvadraters problemer og er mere numerisk stabil end LU i visse scenarier.

Hvad er permutationmatricen `P`'s rolle i **LU-dekomponering**?

Antag, at du skal løse systemet $$A·x = b$$ ved hjælp af **QR-dekomponering**. Hvilken kodeændring skal du foretage?

Behersk de matematiske grundlag, der er essentielle for datavidenskab. Udforsk kernebegreber inden for funktioner, calculus, lineær algebra, sandsynlighed og dimensionsreduktion. Opbyg både teoretisk forståelse og praktisk kodningserfaring for at styrke din evne til at analysere data, modellere komplekse systemer og anvende avancerede teknikker inden for maskinlæring.

Undersøg grundlaget for matematiske funktioner. Lær om forskellige typer algebraiske og transcendentale funktioner, deres egenskaber, og hvordan de implementeres i Python til løsning af virkelige problemer.

Behersk begreberne mængder og rækker, fra grundlæggende operationer til praktiske anvendelser. Opnå praktisk erfaring med implementering af mængdeoperationer og arbejde med aritmetiske og geometriske rækker i Python.

Opnå et solidt kendskab til grænseværdier, differentialkvotienter, integraler og partialafledte. Forbind teori med praksis ved at implementere disse begreber i Python og anvende dem på optimering gennem gradientnedstigning.

Opbyg solid viden om vektorer, matricer og transformationer. Lær dekompositionsmetoder og egenværdianalyse, samtidig med at begreberne styrkes gennem Python-kodeudfordringer og praktiske data science-anvendelser.

Dyk ned i sandsynlighedsteori og statistik. Undersøg betinget sandsynlighed, Bayes' sætning og statistiske mål. Implementer centrale begreber i Python, simuler fordelinger, og styrk dine færdigheder gennem udfordringer og quizzer.

Implementering af Matrixdekomposition i Python

Udførelse af LU-dekomposition

Udførelse af QR-dekomponering

1. Hvad er permutationmatricen `P`'s rolle i LU-dekomponering?

2. Antag, at du skal løse systemet $A·x = b$ ved hjælp af QR-dekomponering. Hvilken kodeændring skal du foretage?

Implementering af Matrixdekomposition i Python

Udførelse af LU-dekomposition

Udførelse af QR-dekomponering

1. Hvad er permutationmatricen P's rolle i LU-dekomponering?

2. Antag, at du skal løse systemet A⋅x=bA·x = bA⋅x=b ved hjælp af QR-dekomponering. Hvilken kodeændring skal du foretage?

1. Hvad er permutationmatricen `P`'s rolle i LU-dekomponering?

2. Antag, at du skal løse systemet $A·x = b$ ved hjælp af QR-dekomponering. Hvilken kodeændring skal du foretage?