Summary  
This chapter shows how to represent and manipulate vectors using NumPy arrays in Python, covering vector addition, magnitude calculation with np.linalg.norm, and dot product computation. It also demonstrates visualizing vectors and their resultant using Matplotlib’s quiver function.  

General domain of usage  
Scientific computing

## Definition af vektorer i Python

I Python anvendes NumPy-arrays til at definere 2D-vektorer på følgende måde:



import numpy as np

v1 = np.array([2, 1])
v2 = np.array([1, 3])

print(f'v1 = {v1}')
print(f'v2 = {v2}')

Disse repræsenterer vektorerne:

$$
\vec{v}_1 = (2, 1), \quad \vec{v}_2 = (1, 3)
$$

Disse kan nu lægges sammen, trækkes fra hinanden eller anvendes i beregning af prikprodukt og længde.

## Vektoraddition

For at beregne vektoraddition:



import numpy as np

v1 = np.array([2, 1])
v2 = np.array([1, 3])

v3 = v1 + v2
print(f'v3 = v1 + v2 = {v3}')

Dette udfører:

$$
(2, 1) + (1, 3) = (3, 4)
$$

Dette stemmer overens med reglen for vektoraddition:

$$
\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)
$$

## Vektorlængde (Magnitude)

For at beregne længden i Python:

```python
np.linalg.norm(v)
```

For vektoren `[3, 4]`:


import numpy as np

print(np.linalg.norm([3, 4]))  # 5.0


Dette bruger formlen:

$$
|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
$$

## Prikprodukt

For at beregne prikproduktet:


import numpy as np

print(np.dot([1, 2], [2, 3]))

Hvilket giver:

$$
[1, 2] \cdot [2, 3] = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 8
$$

Generel regel for prikprodukt:

$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
$$

## Visualisering af vektorer med Matplotlib

Du kan bruge funktionen `quiver()` i Matplotlib til at tegne pile, der repræsenterer vektorer og deres resultant. Hver pil viser position, retning og størrelse af en vektor.

* **Blå:** $$\vec{v}_1$$, tegnet fra origo;
* **Grøn:** $$\vec{v}_2$$, startende ved spidsen af $$\vec{v}_1$$;
* **Rød:** resultantvektor, tegnet fra origo til det endelige punkt.

**Eksempel:**



import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots()

# v1
ax.quiver(0, 0, 2, 1, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

# v2 (head-to-tail)
ax.quiver(2, 1, 1, 3, color='green', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

# resultant
ax.quiver(0, 0, 3, 4, color='red', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

plt.xlim(0, 5)
plt.ylim(0, 5)
plt.grid(True)
plt.title('Vector Addition (Head-to-Tail Method)')
plt.show()

**Parametre (baseret på det første `quiver`-kald):**

```python
ax.quiver(0, 0, 2, 1, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)
```

* **`0, 0`** – startpunkt for vektoren (origo);
* **`2, 1`** – vektorens komponenter i x- og y-retning;
* **`color='blue'`** – sætter pilens farve til blå;
* **`angles='xy'`** – tegner pilen ved brug af kartesiske koordinater (x–y-plan);
* **`scale_units='xy'`** – skalerer pilen i forhold til aksernes enheder;
* **`scale=1`** – bevarer pilens faktiske længde (ingen automatisk skalering).

Denne graf viser **vektoraddition med hale-til-hoved-metoden**, hvor den røde vektor repræsenterer summen $$\vec{v}_1 + \vec{v}_2$$.


Hvilken kode beregner korrekt prikproduktet af $$[1,2]$$ og $$[2,3]$$?

Behersk de matematiske grundlag, der er essentielle for datavidenskab. Udforsk kernebegreber inden for funktioner, calculus, lineær algebra, sandsynlighed og dimensionsreduktion. Opbyg både teoretisk forståelse og praktisk kodningserfaring for at styrke din evne til at analysere data, modellere komplekse systemer og anvende avancerede teknikker inden for maskinlæring.

Undersøg grundlaget for matematiske funktioner. Lær om forskellige typer algebraiske og transcendentale funktioner, deres egenskaber, og hvordan de implementeres i Python til løsning af virkelige problemer.

Behersk begreberne mængder og rækker, fra grundlæggende operationer til praktiske anvendelser. Opnå praktisk erfaring med implementering af mængdeoperationer og arbejde med aritmetiske og geometriske rækker i Python.

Opnå et solidt kendskab til grænseværdier, differentialkvotienter, integraler og partialafledte. Forbind teori med praksis ved at implementere disse begreber i Python og anvende dem på optimering gennem gradientnedstigning.

Opbyg solid viden om vektorer, matricer og transformationer. Lær dekompositionsmetoder og egenværdianalyse, samtidig med at begreberne styrkes gennem Python-kodeudfordringer og praktiske data science-anvendelser.

Dyk ned i sandsynlighedsteori og statistik. Undersøg betinget sandsynlighed, Bayes' sætning og statistiske mål. Implementer centrale begreber i Python, simuler fordelinger, og styrk dine færdigheder gennem udfordringer og quizzer.

Implementering af Vektorer i Python

Definition af vektorer i Python

Vektoraddition

Vektorlængde (Magnitude)

Prikprodukt

Visualisering af vektorer med Matplotlib