Summary  
This chapter demonstrates how to define a matrix in Python, compute its eigenvalues and eigenvectors using numpy’s eig function, and validate each eigenpair by checking that A @ v equals λ * v.  

General domain of usage  
Scientific computing

## Beregning af egenværdier og egenvektorer

import numpy as np
from numpy.linalg import eig

# Define matrix A (square matrix)
A = np.array([[2, 1],
              [1, 2]])

# Solve for eigenvalues and eigenvectors
eigenvalues, eigenvectors = eig(A)

# Print eigenvalues and eigenvectors
print(f'Eigenvalues:\n{eigenvalues}')
print(f'Eigenvectors:\n{eigenvectors}')

`eig()` fra `numpy`-biblioteket beregner løsningerne til ligningen:

$$
A v = \lambda v
$$

* `eigenvalues`: en liste af skalarer $$\lambda$$, der skalerer egenvektorer;
* `eigenvectors`: kolonner, der repræsenterer $$v$$ (retninger, der ikke ændres under transformation).

import numpy as np
from numpy.linalg import eig

# Define matrix A (square matrix)
A = np.array([[2, 1],
              [1, 2]])

# Solve for eigenvalues and eigenvectors
eigenvalues, eigenvectors = eig(A)

# Verify that A @ v = λ * v for each eigenpair
for i in range(len(eigenvalues)):
    print(f'Pair {i + 1}:')
    λ = eigenvalues[i]
    v = eigenvectors[:, i].reshape(-1, 1)
    print(f'A * v:\n{A @ v}')
    print(f'lambda * v:\n{λ * v}')

Dette kontrollerer om:

$$
A v = \lambda v
$$

De to sider skal stemme overens, hvilket bekræfter korrektheden. Dette er måden, hvorpå vi numerisk validerer teoretiske egenskaber.

Behersk de matematiske grundlag, der er essentielle for datavidenskab. Udforsk centrale begreber inden for funktioner, calculus, lineær algebra, sandsynlighed og dimensionalitetsreduktion. Opbyg både teoretisk forståelse og praktisk kodningserfaring for at styrke evnen til at analysere data, modellere komplekse systemer og anvende avancerede teknikker inden for maskinlæring.

Undersøg grundlaget for matematiske funktioner. Lær om forskellige typer algebraiske og transcendentale funktioner, deres egenskaber, og hvordan de implementeres i Python til løsning af virkelige problemer.

Behersk begreberne mængder og rækker, fra grundlæggende operationer til praktiske anvendelser. Opnå praktisk erfaring med implementering af mængdeoperationer og arbejde med aritmetiske og geometriske rækker i Python.

Opnå et solidt kendskab til grænseværdier, differentialkvotienter, integraler og partialafledte. Forbind teori med praksis ved at implementere disse begreber i Python og anvende dem på optimering gennem gradient descent.

Opbyg solid viden om vektorer, matricer og transformationer. Lær dekompositionsmetoder og egenværdianalyse, samtidig med at begreberne styrkes gennem Python-kodeudfordringer og praktiske data science-anvendelser.

Dyk ned i sandsynlighedsteori og statistik. Undersøg betinget sandsynlighed, Bayes' sætning og statistiske mål. Implementer centrale begreber i Python, simuler fordelinger, og styrk dine færdigheder gennem udfordringer og quizzer.

Implementering af Egenvektorer og Egenværdier i Python

Beregning af egenværdier og egenvektorer

Validering af hvert par (Nøgletrin)

Awesome!

Implementering af Egenvektorer og Egenværdier i Python

Beregning af egenværdier og egenvektorer

Validering af hvert par (Nøgletrin)