I Python kan vi beregne afledte symbolsk ved hjælp af sympy og visualisere dem med matplotlib.

1. Symbolsk beregning af afledte

# Define symbolic variable x
x = sp.symbols('x')
# Define the functions
f1 = sp.exp(x)  
f2 = 1 / (1 + sp.exp(-x))  
# Compute derivatives symbolically
df1 = sp.diff(f1, x)  
df2 = sp.diff(f2, x)

Forklaring:

• Vi definerer x som en symbolsk variabel ved hjælp af sp.symbols('x');
• Funktionen sp.diff(f, x) beregner den afledte af f med hensyn til x;
• Dette gør det muligt at manipulere afledte algebraisk i Python.

2. Evaluering og plotning af funktioner og deres afledte

# Convert symbolic functions to numerical functions for plotting
f1_lambda = sp.lambdify(x, f1, 'numpy')
df1_lambda = sp.lambdify(x, df1, 'numpy')
f2_lambda = sp.lambdify(x, f2, 'numpy')
df2_lambda = sp.lambdify(x, df2, 'numpy')

Forklaring:

• sp.lambdify(x, f, 'numpy') konverterer en symbolsk funktion til en numerisk funktion, der kan evalueres ved hjælp af numpy;
• Dette er nødvendigt, fordi matplotlib og numpy arbejder med numeriske arrays og ikke symbolske udtryk.

3. Udskrivning af afledte evalueringer for nøglepunkter

For at verificere vores beregninger udskriver vi afledte værdier ved x = [-5, 0, 5].

# Evaluate derivatives at key points
test_points = [-5, 0, 5]
for x_val in test_points:
    print(f"x = {x_val}: e^x = {f2_lambda(x_val):.4f}, e^x' = {df2_lambda(x_val):.4f}")
    print(f"x = {x_val}: sigmoid(x) = {f4_lambda(x_val):.4f}, sigmoid'(x) = {df4_lambda(x_val):.4f}")
    print("-" * 50)