Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lære Introduktion til Integraler | Matematisk Analyse
Matematik for Datavidenskab

bookIntroduktion til Integraler

Note
Definition

Integration er et grundlæggende begreb i calculus, der repræsenterer den samlede akkumulation af en størrelse, såsom arealet under en kurve. Det er essentielt i datavidenskab til beregning af sandsynlighedsfordelinger, kumulerede værdier og optimering.

Grundlæggende integral

Det grundlæggende integral af en potensfunktion følger denne regel:

∫Cxndx=C(xn+1n+1)+C\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Hvor:

  • CC er en konstant;
  • n≠−1n \neq -1;
  • ...+C...+C repræsenterer en vilkårlig integrationskonstant.

Hovedidé: Hvis differentiation reducerer potensen af xx, øger integration den.

Almindelige integreringsregler

Potensreglen for integration

Denne regel hjælper med at integrere ethvert polynomielt udtryk:

∫xndx=xn+1n+1+C, n≠−1\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

For eksempel, hvis n=2n = 2:

∫x2dx=x33+C\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Eksponentialreglen

Integralet af eksponentialfunktionen exe^x er unikt, fordi det forbliver det samme efter integration:

∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C

Men hvis vi har en eksponent med en koefficient, anvendes en anden regel:

∫eaxdx=1aeax+C, a≠0\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0

For eksempel, hvis a=2a = 2:

∫e2xdx=e2x2+C\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Trigonometriske integraler

Sinus- og cosinusfunktioner følger også enkle integrationsregler:

∫sin(x)dx=−cos(x)+C∫cos(x)dx=sin(x)+C\int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \int cos(x) dx = sin(x) + C

Bestemte integraler

I modsætning til ubestemte integraler, som inkluderer en vilkårlig konstant CC, evaluerer bestemte integraler en funktion mellem to grænser aa og bb:

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Hvor F(x)F(x) er antiderivationen af f(x)f(x).

For eksempel, hvis f(x)=2xf(x) = 2x, a=0a = 0 og b=2b = 2:

∫022x dx=[x2]=4−0=4\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Dette betyder, at arealet under kurven y=2xy = 2x fra x=0x=0 til x=2x=2 er 44.

question mark

Beregn integralet:

∫3x2dx\int 3x^2 dx

Select the correct answer

Var alt klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 3. Kapitel 5

Spørg AI

expand

Spørg AI

ChatGPT

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Suggested prompts:

Can you explain the difference between definite and indefinite integrals?

Can you show more examples of integrating trigonometric or exponential functions?

How do I know when to use the power rule versus other integration rules?

bookIntroduktion til Integraler

Stryg for at vise menuen

Note
Definition

Integration er et grundlæggende begreb i calculus, der repræsenterer den samlede akkumulation af en størrelse, såsom arealet under en kurve. Det er essentielt i datavidenskab til beregning af sandsynlighedsfordelinger, kumulerede værdier og optimering.

Grundlæggende integral

Det grundlæggende integral af en potensfunktion følger denne regel:

∫Cxndx=C(xn+1n+1)+C\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Hvor:

  • CC er en konstant;
  • n≠−1n \neq -1;
  • ...+C...+C repræsenterer en vilkårlig integrationskonstant.

Hovedidé: Hvis differentiation reducerer potensen af xx, øger integration den.

Almindelige integreringsregler

Potensreglen for integration

Denne regel hjælper med at integrere ethvert polynomielt udtryk:

∫xndx=xn+1n+1+C, n≠−1\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

For eksempel, hvis n=2n = 2:

∫x2dx=x33+C\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Eksponentialreglen

Integralet af eksponentialfunktionen exe^x er unikt, fordi det forbliver det samme efter integration:

∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C

Men hvis vi har en eksponent med en koefficient, anvendes en anden regel:

∫eaxdx=1aeax+C, a≠0\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0

For eksempel, hvis a=2a = 2:

∫e2xdx=e2x2+C\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Trigonometriske integraler

Sinus- og cosinusfunktioner følger også enkle integrationsregler:

∫sin(x)dx=−cos(x)+C∫cos(x)dx=sin(x)+C\int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \int cos(x) dx = sin(x) + C

Bestemte integraler

I modsætning til ubestemte integraler, som inkluderer en vilkårlig konstant CC, evaluerer bestemte integraler en funktion mellem to grænser aa og bb:

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Hvor F(x)F(x) er antiderivationen af f(x)f(x).

For eksempel, hvis f(x)=2xf(x) = 2x, a=0a = 0 og b=2b = 2:

∫022x dx=[x2]=4−0=4\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Dette betyder, at arealet under kurven y=2xy = 2x fra x=0x=0 til x=2x=2 er 44.

question mark

Beregn integralet:

∫3x2dx\int 3x^2 dx

Select the correct answer

Var alt klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 3. Kapitel 5
some-alt