Lære Introduktion til Integraler

Definition

Integration er et grundlæggende begreb i calculus, der repræsenterer den samlede akkumulation af en størrelse, såsom arealet under en kurve. Det er essentielt i datavidenskab til beregning af sandsynlighedsfordelinger, kumulerede værdier og optimering.

Grundlæggende integral

Det grundlæggende integral af en potensfunktion følger denne regel:

\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Hvor:

$C$ er en konstant;
$n \neq -1$ ;
$...+C$ repræsenterer en vilkårlig integrationskonstant.

Hovedidé: Hvis differentiation reducerer potensen af $x$ , øger integration den.

Almindelige integreringsregler

Potensreglen for integration

Denne regel hjælper med at integrere ethvert polynomielt udtryk:

\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

For eksempel, hvis $n = 2$ :

\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Eksponentialreglen

Integralet af eksponentialfunktionen $e^x$ er unikt, fordi det forbliver det samme efter integration:

\int e^x dx = e^x + C

Men hvis vi har en eksponent med en koefficient, anvendes en anden regel:

\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0

For eksempel, hvis $a = 2$ :

\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Trigonometriske integraler

Sinus- og cosinusfunktioner følger også enkle integrationsregler:

\int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \int cos(x) dx = sin(x) + C

Bestemte integraler

I modsætning til ubestemte integraler, som inkluderer en vilkårlig konstant $C$ , evaluerer bestemte integraler en funktion mellem to grænser $a$ og $b$ :

\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Hvor $F(x)$ er antiderivationen af $f(x)$ .

For eksempel, hvis $f(x) = 2x$ , $a = 0$ og $b = 2$ :

\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Dette betyder, at arealet under kurven $y = 2x$ fra $x=0$ til $x=2$ er $4$ .

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 3. Kapitel 5

Spørg AI

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Stryg for at vise menuen