Summary  
This chapter explains how to find antiderivatives using the power, exponential, and trigonometric integration rules and how to evaluate definite integrals to compute the area under a curve.

General domain of usage  
Scientific computing

**Integration** er et grundlæggende begreb i calculus, der repræsenterer den samlede akkumulation af en størrelse, såsom arealet under en kurve. Det er essentielt i datavidenskab til beregning af sandsynlighedsfordelinger, kumulerede værdier og optimering.


Definition

## Grundlæggende integral
Det grundlæggende integral af en potensfunktion følger denne regel:

$$
\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C
$$
 
Hvor:
- $$C$$ er en konstant;
- $$n \neq -1$$;
- $$...+C$$ repræsenterer en vilkårlig integrationskonstant.

**Hovedidé**: Hvis differentiation reducerer potensen af $$x$$, øger integration den.

## Almindelige integreringsregler

### Potensreglen for integration
Denne regel hjælper med at integrere ethvert polynomielt udtryk:

$$
\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1
$$

For eksempel, hvis $$n = 2$$:
$$
\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C
$$


### Eksponentialreglen
Integralet af eksponentialfunktionen $$e^x$$ er unikt, fordi det forbliver det samme efter integration:

$$
\int e^x dx = e^x + C
$$

Men hvis vi har en eksponent med en koefficient, anvendes en anden regel:

$$
\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0
$$

For eksempel, hvis $$a = 2$$:

$$
\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C
$$
 


### Trigonometriske integraler
Sinus- og cosinusfunktioner følger også enkle integrationsregler:

$$
\int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \int cos(x) dx = sin(x) + C
$$
 


## Bestemte integraler

I modsætning til ubestemte integraler, som inkluderer en vilkårlig konstant $$C$$, evaluerer bestemte integraler en funktion **mellem to grænser** $$a$$ og $$b$$:

$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$

Hvor $$F(x)$$ er **antiderivationen** af $$f(x)$$.

For eksempel, hvis $$f(x) = 2x$$, $$a = 0$$ og $$b = 2$$:

$$
\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4
$$
 
Dette betyder, at **arealet under kurven** $$y = 2x$$ fra $$x=0$$ til $$x=2$$ er $$4$$.


Behersk de matematiske grundlag, der er essentielle for datavidenskab. Udforsk kernebegreber inden for funktioner, calculus, lineær algebra, sandsynlighed og dimensionsreduktion. Opbyg både teoretisk forståelse og praktisk kodningserfaring for at styrke din evne til at analysere data, modellere komplekse systemer og anvende avancerede teknikker inden for maskinlæring.

Undersøg grundlaget for matematiske funktioner. Lær om forskellige typer algebraiske og transcendentale funktioner, deres egenskaber, og hvordan de implementeres i Python til løsning af virkelige problemer.

Behersk begreberne mængder og rækker, fra grundlæggende operationer til praktiske anvendelser. Opnå praktisk erfaring med implementering af mængdeoperationer og arbejde med aritmetiske og geometriske rækker i Python.

Opnå et solidt kendskab til grænseværdier, differentialkvotienter, integraler og partialafledte. Forbind teori med praksis ved at implementere disse begreber i Python og anvende dem på optimering gennem gradientnedstigning.

Opbyg solid viden om vektorer, matricer og transformationer. Lær dekompositionsmetoder og egenværdianalyse, samtidig med at begreberne styrkes gennem Python-kodeudfordringer og praktiske data science-anvendelser.

Dyk ned i sandsynlighedsteori og statistik. Undersøg betinget sandsynlighed, Bayes' sætning og statistiske mål. Implementer centrale begreber i Python, simuler fordelinger, og styrk dine færdigheder gennem udfordringer og quizzer.

Introduktion til Integraler

Grundlæggende integral

Almindelige integreringsregler

Potensreglen for integration

Eksponentialreglen

Trigonometriske integraler

Bestemte integraler