Summary  
This chapter explains the concept of limits, covering one- and two-sided limits, methods for evaluating them (direct substitution, factoring and canceling, rationalization, special limits), and the common failure cases (jump discontinuities, infinite limits, oscillations).

General domain of usage  
Calculus

**En grænseværdi** er et grundlæggende begreb i calculus, der beskriver den værdi, en funktion nærmer sig, når dens input nærmer sig et bestemt punkt. Grænseværdier danner grundlaget for definitionen af differentialkvotienter og integraler, hvilket gør dem essentielle i matematisk analyse og optimering inden for maskinlæring.


Definition

## Formelle definition & notation
En grænseværdi repræsenterer den værdi, som en funktion nærmer sig, når inputtet kommer vilkårligt tæt på et punkt.

$$
\lim_{x \rarr a}f(x) = L
$$

Dette betyder, at når $$x$$ kommer vilkårligt tæt på $$a$$, nærmer funktionen sig $$L$$.

Funktionen behøver **ikke** være defineret for $$x=a$$ for at grænseværdien eksisterer.

Bemærk

## Énsidige og tosidige grænseværdier
En grænseværdi kan nærmes fra begge sider:
- **Venstresidig grænseværdi**:
nærmer sig $$a$$ fra værdier mindre end $$a$$:
$$
  \lim_{x \rarr a^-}f(x)
$$
- **Højresidig grænseværdi**: nærmer sig $$a$$ fra værdier større end $$a$$:
$$
\lim_{x \rarr a^+}f(x)
$$
- Grænseværdien eksisterer kun, hvis **begge énsidige grænseværdier er ens**:
$$
  \lim_{x \rarr a^-}f(x) = \lim_{x \rarr a^+}f(x)
$$
   


## Når grænseværdier ikke eksisterer
En grænseværdi eksisterer **ikke** i følgende tilfælde:
- **Springdiskontinuitet**:
$$
  \lim_{x \rarr a^-}f(x) \neq \lim_{x \rarr a^+}f(x)
$$
  - **Eksempel**: en trinfunktion hvor venstre og højre grænseværdi er forskellige.
- **Uendelig grænseværdi**:
$$
\lim_{x \rarr 0}\frac{1}{x^2}=\infty
$$
  - Funktionen vokser uden grænse.
- **Oscillation**:
$$
\lim_{x \rarr 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)
$$
  - Funktionen svinger uendeligt uden at nærme sig en bestemt værdi.



## Særligt tilfælde – grænseværdier ved uendelig
Når $$x$$ nærmer sig uendelig, analyseres funktioners **asymptotiske adfærd**:
- **Rationale funktioner**:
$$
\lim_{x \rarr \infty}\frac{1}{x}=0
$$
- **Polynomiel vækst**:
$$
\lim_{x \rarr \infty}\frac{x^2}{x}=\infty
$$
- **Regel om dominerende led**:
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{a x^m}{b x^n} = \begin{cases} 0,\ \text{if } m < n,\\ \frac{a}{b},\ \text{if } m = n, \\ \pm \infty,\ \text{if } m > n. \end{cases}
$$



Hvilken påstand beskriver korrekt, hvornår en grænseværdi eksisterer?

Behersk de matematiske grundlag, der er essentielle for datavidenskab. Udforsk kernebegreber inden for funktioner, calculus, lineær algebra, sandsynlighed og dimensionsreduktion. Opbyg både teoretisk forståelse og praktisk kodningserfaring for at styrke din evne til at analysere data, modellere komplekse systemer og anvende avancerede teknikker inden for maskinlæring.

Undersøg grundlaget for matematiske funktioner. Lær om forskellige typer algebraiske og transcendentale funktioner, deres egenskaber, og hvordan de implementeres i Python til løsning af virkelige problemer.

Behersk begreberne mængder og rækker, fra grundlæggende operationer til praktiske anvendelser. Opnå praktisk erfaring med implementering af mængdeoperationer og arbejde med aritmetiske og geometriske rækker i Python.

Opnå et solidt kendskab til grænseværdier, differentialkvotienter, integraler og partialafledte. Forbind teori med praksis ved at implementere disse begreber i Python og anvende dem på optimering gennem gradientnedstigning.

Opbyg solid viden om vektorer, matricer og transformationer. Lær dekompositionsmetoder og egenværdianalyse, samtidig med at begreberne styrkes gennem Python-kodeudfordringer og praktiske data science-anvendelser.

Dyk ned i sandsynlighedsteori og statistik. Undersøg betinget sandsynlighed, Bayes' sætning og statistiske mål. Implementer centrale begreber i Python, simuler fordelinger, og styrk dine færdigheder gennem udfordringer og quizzer.

Introduktion til Grænseværdier

Formelle definition & notation

Énsidige og tosidige grænseværdier

Når grænseværdier ikke eksisterer

Særligt tilfælde – grænseværdier ved uendelig