Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lære Introduktion til Differentialregning | Matematisk Analyse
Matematik for Datavidenskab

bookIntroduktion til Differentialregning

Note
Definition

En afledt funktion er et mål for, hvordan en funktion ændrer sig, når dens input ændres. Den repræsenterer ændringshastigheden for funktionen og er grundlæggende i analysen af tendenser, optimering af processer og forudsigelse af adfærd inden for områder som fysik, økonomi og maskinlæring.

Grænseværdidefinitionen af en afledt funktion

Den afledte af en funktion f(x)f(x) i et specifikt punkt x=ax = a er givet ved:

lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Denne formel angiver, hvor meget f(x)f(x) ændrer sig, når vi tager et meget lille skridt hh langs x-aksen. Jo mindre hh bliver, desto tættere kommer vi på den øjeblikkelige ændringshastighed.

Grundlæggende regler for differentiation

Potensreglen

Hvis en funktion er en potens af xx, følger den afledte:

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Dette betyder, at når vi differentierer, flytter vi eksponenten ned og reducerer den med én:

ddxx3=3x2\frac{d}{dx}x^3=3x^2

Konstantreglen

Afledte af en hvilken som helst konstant er nul:

ddxC=0\frac{d}{dx}C=0

For eksempel, hvis f(x)=5f(x) = 5, så:

ddx5=0\frac{d}{dx}5=0

Sum- og Differensreglen

Den afledte af en sum eller differens af funktioner følger:

ddx[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)\frac{d}{dx} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = f'(x) \pm g'(x)

For eksempel, differentieret separat:

ddx(x3+2x)=3x2+2\frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2

Produkt- og Kvotientregler

Produktreglen

Hvis to funktioner multipliceres, findes den afledte således:

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Dette betyder, at vi differentierer hver funktion separat og derefter summerer deres produkter. Hvis f(x)=x2f(x)=x^2 og g(x)=exg(x) = e^x, så:

ddx[x2ex]=2xex+x3ex\frac{d}{dx}[x^2e^x] = 2xe^x + x^3e^x

Kvotientreglen

Ved division af funktioner anvendes:

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Hvis f(x)=x2f(x)=x^2 og g(x)=x+1g(x)=x+1, så:

ddx[x2x+1]=2x(x+1)−x2(1)(x+1)2\frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2}{x + 1} \right] = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2}

Kædereglen: Differentiering af sammensatte funktioner

Ved differentiering af indlejrede funktioner anvendes:

ddxf(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

For eksempel, hvis y=(3x+2)5y = (3x + 2)^5, så:

ddx(3x+2)5=5(3x+2)4⋅3=15(3x+2)4\frac{d}{dx}(3x+2)^5 = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

Denne regel er essentiel i neurale netværk og maskinlæringsalgoritmer.

Eksempel på kædereglen med eksponentialfunktion:

Ved differentiering af udtryk som:

y=e2x2y =e^{2x^2}

Her arbejdes der med en sammensat funktion:

  • Ydre funktion: eue^u
  • Indre funktion: u=2x2u = 2x^2

Anvend kædereglen trin for trin:

ddx2x2=4x\frac{d}{dx}2x^2=4x

Multiplicer derefter med den oprindelige eksponentialfunktion:

ddx(e2x2)=4x⋅e2x2\frac{d}{dx}\left( e^{2x^2} \right) = 4x \cdot e^{2x^2}
Note
Læs Mere

Inden for maskinlæring og neurale netværk optræder dette, når man arbejder med eksponentielle aktiveringsfunktioner eller tabfunktioner.

Eksempel på logaritmisk kædereglen:

Lad os differentiere ln⁡(2x)\ln(2x). Igen er det en sammensat funktion — logaritme yderst, lineær inderst.

Differentier den indre del:

ddx(2x)=2\frac{d}{dx}(2x)=2

Anvend nu kædereglen på logaritmen:

ddxln⁡(2x)=12x⋅2\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2

Dette forenkles til:

ddxln⁡(2x)=22x=1x\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}
Note
Bemærk

Selv hvis du differentierer ln⁡(kx)\ln(kx), er resultatet altid 1x\frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}}, fordi konstanterne udligner hinanden.

Særligt tilfælde: Afledt af sigmoidfunktionen

Sigmoidfunktionen anvendes ofte i maskinlæring:

σ(x)=11+x−x\sigma(x) = \frac{1}{1+x^{-x}}

Dens afledte spiller en central rolle i optimering:

σ′(x)=σ(x)(1−σ(x))\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))

Hvis f(x)=11+e−xf(x) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-3pt}{$1 + e^{-x}$}}, så gælder:

f′(x)=e−x(1+e−x)2f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}

Denne formel sikrer, at gradienterne forbliver glatte under træning.

question mark

Hvilken af følgende repræsenterer korrekt den afledte af x4x^4?

Select the correct answer

Var alt klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 3. Kapitel 3

Spørg AI

expand

Spørg AI

ChatGPT

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Suggested prompts:

Can you explain the limit definition of a derivative with a simple example?

How do the product, quotient, and chain rules differ in practice?

Can you show how to find the derivative of a more complex function using these rules?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookIntroduktion til Differentialregning

Stryg for at vise menuen

Note
Definition

En afledt funktion er et mål for, hvordan en funktion ændrer sig, når dens input ændres. Den repræsenterer ændringshastigheden for funktionen og er grundlæggende i analysen af tendenser, optimering af processer og forudsigelse af adfærd inden for områder som fysik, økonomi og maskinlæring.

Grænseværdidefinitionen af en afledt funktion

Den afledte af en funktion f(x)f(x) i et specifikt punkt x=ax = a er givet ved:

lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Denne formel angiver, hvor meget f(x)f(x) ændrer sig, når vi tager et meget lille skridt hh langs x-aksen. Jo mindre hh bliver, desto tættere kommer vi på den øjeblikkelige ændringshastighed.

Grundlæggende regler for differentiation

Potensreglen

Hvis en funktion er en potens af xx, følger den afledte:

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Dette betyder, at når vi differentierer, flytter vi eksponenten ned og reducerer den med én:

ddxx3=3x2\frac{d}{dx}x^3=3x^2

Konstantreglen

Afledte af en hvilken som helst konstant er nul:

ddxC=0\frac{d}{dx}C=0

For eksempel, hvis f(x)=5f(x) = 5, så:

ddx5=0\frac{d}{dx}5=0

Sum- og Differensreglen

Den afledte af en sum eller differens af funktioner følger:

ddx[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)\frac{d}{dx} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = f'(x) \pm g'(x)

For eksempel, differentieret separat:

ddx(x3+2x)=3x2+2\frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2

Produkt- og Kvotientregler

Produktreglen

Hvis to funktioner multipliceres, findes den afledte således:

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Dette betyder, at vi differentierer hver funktion separat og derefter summerer deres produkter. Hvis f(x)=x2f(x)=x^2 og g(x)=exg(x) = e^x, så:

ddx[x2ex]=2xex+x3ex\frac{d}{dx}[x^2e^x] = 2xe^x + x^3e^x

Kvotientreglen

Ved division af funktioner anvendes:

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Hvis f(x)=x2f(x)=x^2 og g(x)=x+1g(x)=x+1, så:

ddx[x2x+1]=2x(x+1)−x2(1)(x+1)2\frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2}{x + 1} \right] = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2}

Kædereglen: Differentiering af sammensatte funktioner

Ved differentiering af indlejrede funktioner anvendes:

ddxf(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

For eksempel, hvis y=(3x+2)5y = (3x + 2)^5, så:

ddx(3x+2)5=5(3x+2)4⋅3=15(3x+2)4\frac{d}{dx}(3x+2)^5 = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

Denne regel er essentiel i neurale netværk og maskinlæringsalgoritmer.

Eksempel på kædereglen med eksponentialfunktion:

Ved differentiering af udtryk som:

y=e2x2y =e^{2x^2}

Her arbejdes der med en sammensat funktion:

  • Ydre funktion: eue^u
  • Indre funktion: u=2x2u = 2x^2

Anvend kædereglen trin for trin:

ddx2x2=4x\frac{d}{dx}2x^2=4x

Multiplicer derefter med den oprindelige eksponentialfunktion:

ddx(e2x2)=4x⋅e2x2\frac{d}{dx}\left( e^{2x^2} \right) = 4x \cdot e^{2x^2}
Note
Læs Mere

Inden for maskinlæring og neurale netværk optræder dette, når man arbejder med eksponentielle aktiveringsfunktioner eller tabfunktioner.

Eksempel på logaritmisk kædereglen:

Lad os differentiere ln⁡(2x)\ln(2x). Igen er det en sammensat funktion — logaritme yderst, lineær inderst.

Differentier den indre del:

ddx(2x)=2\frac{d}{dx}(2x)=2

Anvend nu kædereglen på logaritmen:

ddxln⁡(2x)=12x⋅2\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2

Dette forenkles til:

ddxln⁡(2x)=22x=1x\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}
Note
Bemærk

Selv hvis du differentierer ln⁡(kx)\ln(kx), er resultatet altid 1x\frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}}, fordi konstanterne udligner hinanden.

Særligt tilfælde: Afledt af sigmoidfunktionen

Sigmoidfunktionen anvendes ofte i maskinlæring:

σ(x)=11+x−x\sigma(x) = \frac{1}{1+x^{-x}}

Dens afledte spiller en central rolle i optimering:

σ′(x)=σ(x)(1−σ(x))\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))

Hvis f(x)=11+e−xf(x) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-3pt}{$1 + e^{-x}$}}, så gælder:

f′(x)=e−x(1+e−x)2f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}

Denne formel sikrer, at gradienterne forbliver glatte under træning.

question mark

Hvilken af følgende repræsenterer korrekt den afledte af x4x^4?

Select the correct answer

Var alt klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 3. Kapitel 3
some-alt