Lære Introduktion til Differentialregning

Definition

En afledt funktion er et mål for, hvordan en funktion ændrer sig, når dens input ændres. Den repræsenterer ændringshastigheden for funktionen og er grundlæggende for at analysere tendenser, optimere processer og forudsige adfærd inden for områder som fysik, økonomi og maskinlæring.

Den afledtes grænseværdi-definition

Den afledte af en funktion $f(x)$ i et specifikt punkt $x = a$ er givet ved:

\lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Denne formel angiver, hvor meget $f(x)$ ændrer sig, når vi tager et meget lille skridt $h$ langs x-aksen. Jo mindre $h$ bliver, desto tættere kommer vi på den øjeblikkelige ændringshastighed.

Grundlæggende regler for differentiation

Potensreglen

Hvis en funktion er en potens af $x$ , følger den afledte:

\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Dette betyder, at når vi differentierer, trækker vi eksponenten ned og reducerer den med én:

\frac{d}{dx}x^3=3x^2

Konstantregel

Afledte af en hvilken som helst konstant er nul:

\frac{d}{dx}C=0

For eksempel, hvis $f(x) = 5$ , så:

\frac{d}{dx}5=0

Sum- og differensregel

Den afledte af en sum eller differens af funktioner følger:

\frac{d}{dx} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = f'(x) \pm g'(x)

For eksempel, differentiering separat:

\frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2

Produkt- og kvotientregler

Produktregel

Hvis to funktioner multipliceres, findes den afledte således:

\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Dette betyder, at hver funktion differentieres separat og deres produkter summeres. Hvis $f(x)=x^2$ og $g(x) = e^x$ , så:

\frac{d}{dx}[x^2e^x] = 2xe^x + x^2e^x

Kvotientreglen

Ved division af funktioner anvendes:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Hvis $f(x)=x^2$ og $g(x)=x+1$ , så:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2}{x + 1} \right] = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2}

Kædereglen: Differentiering af sammensatte funktioner

Ved differentiering af indlejrede funktioner anvendes:

\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

For eksempel, hvis $y = (3x + 2)^5$ , så:

\frac{d}{dx}(3x+2)^5 = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

Denne regel er essentiel i neurale netværk og maskinlæringsalgoritmer.

Eksempel på kædereglen med eksponentialfunktion:

Ved differentiering af udtryk som:

y =e^{2x^2}

Her arbejdes der med en sammensat funktion:

Ydre funktion: $e^u$
Indre funktion: $u = 2x^2$

Anvend kædereglen trin for trin:

\frac{d}{dx}2x^2=4x

Multiplicer derefter med den oprindelige eksponentialfunktion:

\frac{d}{dx}\left( e^{2x^2} \right) = 4x \cdot e^{2x^2}

Studér Mere

Inden for maskinlæring og neurale netværk optræder dette, når man arbejder med eksponentielle aktiveringsfunktioner eller tabfunktioner.

Eksempel på logaritmisk kædereglen:

Lad os differentiere $\ln(2x)$ . Igen er det en sammensat funktion — logaritme yderst, lineær inderst.

Differentier den indre del:

\frac{d}{dx}(2x)=2

Anvend nu kædereglen på logaritmen:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2

Dette forenkles til:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}

Bemærk

Selv hvis du differentierer $\ln(kx)$ , er resultatet altid $\frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}}$ , fordi konstanterne ophæver hinanden.

Særligt tilfælde: Afledt af sigmoidfunktionen

Sigmoidfunktionen anvendes ofte i maskinlæring:

\sigma(x) = \frac{1}{1+x^{-x}}

Dens afledte spiller en central rolle i optimering:

\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))

Hvis $f(x) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-3pt}{$1 + e^{-x}$}}$ , så gælder:

f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}

Denne formel sikrer, at gradienterne forbliver glatte under træning.

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 3. Kapitel 3

Spørg AI

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Suggested prompts:

Can you explain the limit definition of a derivative in simpler terms?

How do I use the power rule for more complicated functions?

Can you show more examples of the chain rule in action?

Stryg for at vise menuen