Lære Implementering af Grænseværdier i Python

Før du undersøger, hvordan grænseværdier opfører sig visuelt, skal du vide, hvordan du beregner dem direkte ved hjælp af sympy-biblioteket. Her er tre almindelige typer grænseværdier, du vil støde på.

1. Endelig grænseværdi

Dette eksempel viser en funktion, der nærmer sig en bestemt endelig værdi, når $x \to 2$ .


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Grænseværdi, der ikke eksisterer

Her opfører funktionen sig forskelligt fra venstre og højre side, så grænseværdien eksisterer ikke.


              1234567891011
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Uendelig grænse

Dette eksempel viser en funktion, der nærmer sig nul, når (x) vokser uendeligt stor.


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Disse korte kodeeksempler viser, hvordan sympy.limit() kan bruges til at beregne forskellige typer grænseværdier – endelige, udefinerede og uendelige – før de analyseres grafisk

Definition af funktionerne

f_diff = (2 - x)  # Approaches 2 as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff: en simpel lineær funktion, hvor venstre- og højregrænseværdi divergerer;
f_same: den klassiske reciprokke funktion, der nærmer sig samme grænseværdi fra begge sider;
f_special: en velkendt grænseværdi i matematisk analyse, som er 1 når $x \to 0$ .

Håndtering af division med nul

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

Funktionen f_same = 1/x har et problem ved $x = 0$ (division med nul), så vi erstatter dette med NaN (Not a Number) for at undgå fejl;
For f_special ved vi, at $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ , så vi tildeler manuelt $1$ når $x = 0$ .

Plotning af horisontale asymptoter

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

Funktionen 1/x har en horisontal asymptote ved $y = 0$ ;
Funktionen sin(x)/x nærmer sig $y = 1$ , så vi tilføjer en stiplet rød linje for visuel klarhed.

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 3. Kapitel 2

Spørg AI

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Suggested prompts:

Can you explain more about how to interpret the results of these limits?

What is the significance of horizontal asymptotes in these examples?

Could you provide more details about the special limit involving sin(x)/x?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Stryg for at vise menuen