Lære Introduktion til Serier | Mængder og Rækker

Definition

En række er et matematisk udtryk dannet ved at lægge leddene i en følge sammen. De mest almindelige typer er aritmetiske rækker og geometriske rækker, som adskiller sig i, hvordan deres led udvikler sig.

Aritmetisk række

En aritmetisk række dannes, når forskellen mellem på hinanden følgende led i en følge er konstant.

2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{common difference}, d = 3)

Summen af de første $n$ led i en aritmetisk række gives ved:

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Hvor:

$n$ - antal led;
$a$ - første led;
$l$ - sidste led.

Alternativt, hvis det sidste led $l$ ikke er kendt:

S_n = \frac{n}{2} \cdot \left( 2a + (n - 1) \cdot d \right)

Eksempel

Find summen af de første 10 led i rækken $2,5,8,...$

S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Geometrisk række

En geometrisk række dannes, når hvert led i rækken multipliceres med et fast forhold for at få det næste led.

3,6,12,24,48,...;(\text{fælles forhold}, r=2)

Summen af de første $n$ led i en geometrisk række gives ved:

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Hvor:

$a$ - første led;
$r$ - fælles forhold;
$n$ - antal led.

Hvis rækken er uendelig og $|r|<1$ :

S = \frac{a}{1 - r}

Eksempel:

Find summen af de første 4 led i rækken $3,6,12,24,...$

S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Virkelige anvendelser

Aritmetiske og geometriske rækker optræder i mange datavidenskabelige sammenhænge:

Befolkningsvækst og ressourcemodellering gennem geometriske fremskrivninger;
Finansiel analyse ved brug af rentes rente-beregninger;
Omsætningsprognoser over tidsperioder;
Maskinlæring, hvor summeringer forekommer i algoritmer som gradient descent.

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 2. Kapitel 4

Spørg AI

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Stryg for at vise menuen

Definition

Aritmetisk række

En aritmetisk række dannes, når forskellen mellem på hinanden følgende led i en følge er konstant.

2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{common difference}, d = 3)

Summen af de første $n$ led i en aritmetisk række gives ved:

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Hvor:

$n$ - antal led;
$a$ - første led;
$l$ - sidste led.

Alternativt, hvis det sidste led $l$ ikke er kendt:

S_n = \frac{n}{2} \cdot \left( 2a + (n - 1) \cdot d \right)

Eksempel

Find summen af de første 10 led i rækken $2,5,8,...$

S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Geometrisk række

En geometrisk række dannes, når hvert led i rækken multipliceres med et fast forhold for at få det næste led.

3,6,12,24,48,...;(\text{fælles forhold}, r=2)

Summen af de første $n$ led i en geometrisk række gives ved:

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Hvor:

$a$ - første led;
$r$ - fælles forhold;
$n$ - antal led.

Hvis rækken er uendelig og $|r|<1$ :

S = \frac{a}{1 - r}

Eksempel:

Find summen af de første 4 led i rækken $3,6,12,24,...$

S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Virkelige anvendelser

Aritmetiske og geometriske rækker optræder i mange datavidenskabelige sammenhænge:

Befolkningsvækst og ressourcemodellering gennem geometriske fremskrivninger;
Finansiel analyse ved brug af rentes rente-beregninger;
Omsætningsprognoser over tidsperioder;
Maskinlæring, hvor summeringer forekommer i algoritmer som gradient descent.

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 2. Kapitel 4