Lære Introduktion til Serier | Mængder og Rækker

Definition

En række er et matematisk udtryk dannet ved at lægge leddene i en følge sammen. De mest almindelige typer er aritmetiske rækker og geometriske rækker, som adskiller sig ved, hvordan deres led udvikler sig.

Aritmetiske rækker

En aritmetisk række dannes, når forskellen mellem på hinanden følgende led i en følge er konstant.

2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{common difference}, d = 3)

Summen af de første $n$ led i en aritmetisk række gives ved:

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Hvor:

$n$ - antal led;
$a$ - første led;
$l$ - sidste led.

Alternativt, hvis det sidste led $l$ ikke er kendt:

S_n = \frac{n}{2} \cdot 2a + (n - 1) \cdot d

Eksempel

Find summen af de første 10 led i rækken $2,5,8,...$

S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Geometrisk række

En geometrisk række dannes, når hvert led i rækken multipliceres med et fast forhold for at opnå det næste led.

3,6,12,24,48,...;(\text{fælles forhold}, r=2)

Summen af de første $n$ led i en geometrisk række gives ved:

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Hvor:

$a$ - første led;
$r$ - fælles forhold;
$n$ - antal led.

Hvis rækken er uendelig og $|r|<1$ :

S = \frac{a}{1 - r}

Eksempel:

Find summen af de første 4 led i rækken $3,6,12,24,...$

S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Virkelige anvendelser

Aritmetiske og geometriske rækker forekommer i mange datavidenskabelige sammenhænge:

Befolkningsvækst og ressourcemodellering gennem geometriske fremskrivninger;
Finansiel analyse ved brug af rentes rente-beregninger;
Omsætningsprognoser over tidsperioder;
Maskinlæring, hvor summeringer optræder i algoritmer som gradient descent.

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 2. Kapitel 4

Spørg AI

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Suggested prompts:

Can you explain the difference between arithmetic and geometric series in simpler terms?

Can you show more real-world examples where these series are used?

How do I know when to use an arithmetic series formula versus a geometric series formula?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Stryg for at vise menuen

Definition

Aritmetiske rækker

En aritmetisk række dannes, når forskellen mellem på hinanden følgende led i en følge er konstant.

2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{common difference}, d = 3)

Summen af de første $n$ led i en aritmetisk række gives ved:

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Hvor:

$n$ - antal led;
$a$ - første led;
$l$ - sidste led.

Alternativt, hvis det sidste led $l$ ikke er kendt:

S_n = \frac{n}{2} \cdot 2a + (n - 1) \cdot d

Eksempel

Find summen af de første 10 led i rækken $2,5,8,...$

S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Geometrisk række

En geometrisk række dannes, når hvert led i rækken multipliceres med et fast forhold for at opnå det næste led.

3,6,12,24,48,...;(\text{fælles forhold}, r=2)

Summen af de første $n$ led i en geometrisk række gives ved:

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Hvor:

$a$ - første led;
$r$ - fælles forhold;
$n$ - antal led.

Hvis rækken er uendelig og $|r|<1$ :

S = \frac{a}{1 - r}

Eksempel:

Find summen af de første 4 led i rækken $3,6,12,24,...$

S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Virkelige anvendelser

Aritmetiske og geometriske rækker forekommer i mange datavidenskabelige sammenhænge:

Befolkningsvækst og ressourcemodellering gennem geometriske fremskrivninger;
Finansiel analyse ved brug af rentes rente-beregninger;
Omsætningsprognoser over tidsperioder;
Maskinlæring, hvor summeringer optræder i algoritmer som gradient descent.

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 2. Kapitel 4