Lære Polynomiel Regression

I det foregående kapitel undersøgte vi kvadratisk regression, som har grafen af en parabel. På samme måde kan vi tilføje x³ til ligningen for at opnå kubisk regression, der har en mere kompleks graf. Vi kan også tilføje x⁴ og så videre.

Grad af en polynomiel regression

Generelt kaldes det polynomiel ligning og er ligningen for polynomiel regression. Den højeste potens af x definerer en grad af en polynomiel regression i ligningen. Her er et eksempel

N-grad polynomiel regression

Hvis n betragtes som et helt tal større end to, kan vi nedskrive ligningen for en polynomiel regression af n-te grad.

y_{\text{pred}} = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2 + \dots + \beta_n x^n

Hvor:

$\beta_0, \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$ – modellens parametre;
$y_{\text{pred}}$ – forudsigelse af målet;
$x$ – feature-værdi;
$n$ – graden af polynomiel regression.

Normal Ligning

Og som altid findes parametrene ved hjælp af den normale ligning:

\vec{\beta} = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \dots \\ \beta_n \end{pmatrix} = (\tilde{X}^T \tilde{X})^{-1} \tilde{X}^T y_{\text{true}}

Hvor:

$\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_n$ – modellens parametre;

\tilde{X} = \begin{pmatrix} | & | & | & \dots & | \\ 1 & X & X^2 & \dots & X^n \\ | & | & | & \dots & | \end{pmatrix}

$X$ – et array af feature-værdier fra træningssættet;
$X^k$ – elementvis potens af $k$ for $X$ -arrayet;
$y_{\text{true}}$ – et array af målte værdier fra træningssættet.

Polynomiel Regression med Flere Features

For at skabe endnu mere komplekse former kan polynomiel regression anvendes med mere end én feature. Selv med to features har 2-graders polynomiel regression en ret lang ligning.

I de fleste tilfælde er en så kompleks model ikke nødvendig. Simpeltere modeller (såsom multipel lineær regression) beskriver typisk dataene tilstrækkeligt, og de er meget lettere at fortolke, visualisere og mindre beregningskrævende.

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 1. Kapitel 11

Spørg AI

Spørg om hvad som helst eller prøv et af de foreslåede spørgsmål for at starte vores chat

Stryg for at vise menuen

Grad af en polynomiel regression

Generelt kaldes det polynomiel ligning og er ligningen for polynomiel regression. Den højeste potens af x definerer en grad af en polynomiel regression i ligningen. Her er et eksempel

N-grad polynomiel regression

Hvis n betragtes som et helt tal større end to, kan vi nedskrive ligningen for en polynomiel regression af n-te grad.

y_{\text{pred}} = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2 + \dots + \beta_n x^n

Hvor:

$\beta_0, \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$ – modellens parametre;
$y_{\text{pred}}$ – forudsigelse af målet;
$x$ – feature-værdi;
$n$ – graden af polynomiel regression.

Normal Ligning

Og som altid findes parametrene ved hjælp af den normale ligning:

\vec{\beta} = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \dots \\ \beta_n \end{pmatrix} = (\tilde{X}^T \tilde{X})^{-1} \tilde{X}^T y_{\text{true}}

Hvor:

$\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_n$ – modellens parametre;

\tilde{X} = \begin{pmatrix} | & | & | & \dots & | \\ 1 & X & X^2 & \dots & X^n \\ | & | & | & \dots & | \end{pmatrix}

$X$ – et array af feature-værdier fra træningssættet;
$X^k$ – elementvis potens af $k$ for $X$ -arrayet;
$y_{\text{true}}$ – et array af målte værdier fra træningssættet.

Polynomiel Regression med Flere Features

For at skabe endnu mere komplekse former kan polynomiel regression anvendes med mere end én feature. Selv med to features har 2-graders polynomiel regression en ret lang ligning.

Var alt klart?

Tak for dine kommentarer!

Sektion 1. Kapitel 11