Eigenwerte und Eigenvektoren
Ein Eigenvektor einer Matrix ist ein von Null verschiedener Vektor, dessen Richtung bei Anwendung einer linearen Transformation (repräsentiert durch die Matrix) unverändert bleibt; nur seine Länge wird skaliert. Der Skalierungsfaktor wird durch den zugehörigen Eigenwert angegeben.
Für die Kovarianzmatrix Σ zeigen Eigenvektoren in die Richtungen maximaler Varianz, und Eigenwerte geben an, wie viel Varianz in diesen Richtungen vorhanden ist.
Mathematisch gilt für Matrix A, Eigenvektor v und Eigenwert λ:
Av=λvIn der PCA sind die Eigenvektoren der Kovarianzmatrix die Hauptachsen, und die Eigenwerte sind die Varianzen entlang dieser Achsen.
12345678910111213import numpy as np # Using the covariance matrix from the previous code X = np.array([[2.5, 2.4], [0.5, 0.7], [2.2, 2.9]]) X_centered = X - np.mean(X, axis=0) cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0] # Compute eigenvalues and eigenvectors values, vectors = np.linalg.eig(cov_matrix) print("Eigenvalues:", values) print("Eigenvectors:\n", vectors)
Der Eigenvektor mit dem größten Eigenwert zeigt in die Richtung der größten Varianz in den Daten. Dies ist die erste Hauptkomponente.
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Für die Kovarianzmatrix Σ zeigen Eigenvektoren in die Richtungen maximaler Varianz, und Eigenwerte geben an, wie viel Varianz in diesen Richtungen vorhanden ist.
Mathematisch gilt für Matrix A, Eigenvektor v und Eigenwert λ:
Av=λvIn der PCA sind die Eigenvektoren der Kovarianzmatrix die Hauptachsen, und die Eigenwerte sind die Varianzen entlang dieser Achsen.
12345678910111213import numpy as np # Using the covariance matrix from the previous code X = np.array([[2.5, 2.4], [0.5, 0.7], [2.2, 2.9]]) X_centered = X - np.mean(X, axis=0) cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0] # Compute eigenvalues and eigenvectors values, vectors = np.linalg.eig(cov_matrix) print("Eigenvalues:", values) print("Eigenvectors:\n", vectors)
Der Eigenvektor mit dem größten Eigenwert zeigt in die Richtung der größten Varianz in den Daten. Dies ist die erste Hauptkomponente.
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