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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lernen Varianz, Kovarianz und die Kovarianzmatrix | Mathematische Grundlagen der PCA
Dimensionsreduktion mit PCA

bookVarianz, Kovarianz und die Kovarianzmatrix

Note
Definition

Varianz misst, wie stark eine Variable von ihrem Mittelwert abweicht.

Die Formel für die Varianz einer Variablen xx lautet:

Var(x)=1n∑i=1n(xi−xˉ)2\mathrm{Var}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
Note
Definition

Kovarianz misst, wie zwei Variablen gemeinsam variieren.

Die Formel für die Kovarianz der Variablen xx und yy lautet:

Cov(x,y)=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

Die Kovarianzmatrix verallgemeinert die Kovarianz auf mehrere Variablen. Für einen Datensatz XX mit dd Merkmalen und nn Stichproben ist die Kovarianzmatrix Σ\Sigma eine d×dd \times d Matrix, wobei jeder Eintrag Σij\Sigma_{ij} die Kovarianz zwischen Merkmal ii und Merkmal jj darstellt. Die Berechnung erfolgt mit dem Nenner n−1n-1, um einen erwartungstreuen Schätzer zu erhalten.


              
12345678910111213

            
import numpy as np

# Example data: 3 samples, 2 features
X = np.array([[2.5, 2.4],
              [0.5, 0.7],
              [2.2, 2.9]])

# Center the data (subtract mean)
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)

# Compute covariance matrix manually
cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0]
print("Covariance matrix:\n", cov_matrix)
copy

Im obigen Code werden die Daten manuell zentriert und die Kovarianzmatrix mithilfe von Matrixmultiplikation berechnet. Diese Matrix zeigt, wie jedes Merkmals­paar gemeinsam variiert.

question mark

Welche Aussage beschreibt die Beziehung zwischen Varianz, Kovarianz und der Kovarianzmatrix zutreffend?

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Abschnitt 2. Kapitel 1

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Die Formel für die Varianz einer Variablen xx lautet:

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Kovarianz misst, wie zwei Variablen gemeinsam variieren.

Die Formel für die Kovarianz der Variablen xx und yy lautet:

Cov(x,y)=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

Die Kovarianzmatrix verallgemeinert die Kovarianz auf mehrere Variablen. Für einen Datensatz XX mit dd Merkmalen und nn Stichproben ist die Kovarianzmatrix Σ\Sigma eine d×dd \times d Matrix, wobei jeder Eintrag Σij\Sigma_{ij} die Kovarianz zwischen Merkmal ii und Merkmal jj darstellt. Die Berechnung erfolgt mit dem Nenner n−1n-1, um einen erwartungstreuen Schätzer zu erhalten.


              
12345678910111213

            
import numpy as np

# Example data: 3 samples, 2 features
X = np.array([[2.5, 2.4],
              [0.5, 0.7],
              [2.2, 2.9]])

# Center the data (subtract mean)
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)

# Compute covariance matrix manually
cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0]
print("Covariance matrix:\n", cov_matrix)
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Im obigen Code werden die Daten manuell zentriert und die Kovarianzmatrix mithilfe von Matrixmultiplikation berechnet. Diese Matrix zeigt, wie jedes Merkmals­paar gemeinsam variiert.

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