Summary  
This chapter demonstrates how to generate synthetic cluster data, train a Gaussian Mixture Model for soft clustering by estimating component responsibilities, and select the optimal number of mixture components using silhouette scores.

General domain of usage  
Unsupervised learning for data clustering

Im Folgenden wird gezeigt, wie das **Gaussian Mixture Model (GMM)** auf einem einfachen Datensatz implementiert wird. Der Datensatz wird mithilfe von Blobs mit **drei Clustern** erstellt, von denen zwei sich leicht überlappen, um realistische Herausforderungen beim Clustering zu simulieren. Die Implementierung lässt sich in die folgenden Schritte unterteilen:

1.  **Generierung des Datensatzes**: Der Datensatz besteht aus drei Clustern, die mit Python-Bibliotheken wie sklearn erzeugt werden. Zwei Cluster überlappen sich leicht, was die Aufgabe für GMM geeignet macht, da dieses Verfahren überlappende Daten besser verarbeiten kann als traditionelle Methoden wie K-means;

2.  **Training des GMM**: Das GMM-Modell wird auf den Datensatz trainiert, um die Cluster zu identifizieren. Während des Trainings berechnet der Algorithmus die Wahrscheinlichkeit (sogenannte Verantwortlichkeiten), mit der jeder Punkt zu jedem Cluster gehört. Anschließend werden die Gaußschen Verteilungen iterativ angepasst, um die beste Anpassung an die Daten zu finden;

3.  **Ergebnisse**: Nach dem Training ordnet das Modell jeden Datenpunkt einem der drei Cluster zu. Die überlappenden Punkte werden probabilistisch anhand ihrer Wahrscheinlichkeit zugewiesen, was die Fähigkeit des GMM demonstriert, komplexe Clustering-Szenarien zu bewältigen.

Die Ergebnisse lassen sich mit **Streudiagrammen** visualisieren, wobei jeder Punkt entsprechend seinem zugewiesenen Cluster eingefärbt wird. Dieses Beispiel zeigt, wie effektiv das GMM beim Clustern von Daten mit überlappenden Bereichen ist.

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Implementierung von GMM mit Dummy-Daten

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