Wie Funktionieren GMMs?
Das Gaussian Mixture Model (GMM) funktioniert, indem es die Platzierung der Gaußschen Verteilungen iterativ verbessert, um die Daten bestmöglich anzupassen:
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Zufällige Auswahl der Anzahl von Gauss-Verteilungen: Zu Beginn wird die Anzahl der Gaußschen Verteilungen (Cluster) festgelegt, die an die Daten angepasst werden sollen. Diese Anzahl ist oft vorgegeben oder wird mit Methoden wie dem Silhouette-Score bestimmt, der misst, wie gut die Cluster voneinander getrennt sind;
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Berechnung der Verantwortlichkeit: Für jeden Datenpunkt wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, mit der er zu jeder Gaußschen Verteilung gehört. Diese Wahrscheinlichkeit, die als Verantwortlichkeit bezeichnet wird, hängt davon ab, wie nah der Punkt am Zentrum jeder Gauß-Verteilung liegt und wie groß deren Streuung (Varianz) ist;
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Verschiebung der Gauss-Verteilungen: Basierend auf den berechneten Verantwortlichkeiten werden die Mittelwerte und Varianzen der Gauss-Verteilungen aktualisiert, um die Datenpunkte besser abzubilden. Dieser Schritt sorgt dafür, dass sich die Verteilungen schrittweise an die Datenstruktur anpassen;
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Wiederholung der Schritte 2 und 3: Der Prozess der Berechnung der Verantwortlichkeiten und der Verschiebung der Gauss-Verteilungen wird wiederholt, bis das Modell konvergiert.
Wann konvergiert das GMM?
Konvergenz tritt ein, wenn sich die Parameter der Gaußschen Verteilungen (Mittelwert, Varianz und Gewichte) zwischen den Iterationen nur noch sehr geringfügig ändern oder unter einen vordefinierten Schwellenwert fallen.
Angenommen, es gibt zwei Gaußsche Verteilungen, die versuchen, einen Datensatz von Körpergrößen zu clustern. Anfangs könnte eine Gauß-Verteilung bei einer durchschnittlichen Größe von 5 feet zentriert sein und eine andere bei 6 feet. Im Verlauf der Iterationen passen die beiden Gauss-Verteilungen ihre Positionen und Streuungen an. Wenn sich ihre Mittelwerte und Varianzen stabilisieren—z. B. eine bei 5.5 feet und die andere bei 6.2 feet ohne weitere signifikante Anpassungen—hat das Modell konvergiert.
Erste Iteration
Nach der Konvergenz
1. Wie weist GMM Datenpunkten Cluster zu?
2. Wie nennt man in GMM den Prozess, bei dem die Wahrscheinlichkeit berechnet wird, dass ein Punkt zu einem Cluster gehört?
3. Welcher Schritt in GMM beinhaltet die Anpassung der Gaußschen Verteilungen, um die Daten besser zu modellieren?
4. Was bestimmt, wann GMM die Konvergenz erreicht?
Danke für Ihr Feedback!
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