Was Ist Eine Funktion?
Theorie
In der Mathematik ist eine Funktion ein grundlegendes Konzept, das eine Beziehung zwischen zwei Mengen von Objekten beschreibt, bekannt als Definitionsbereich und Zielbereich. Eine Funktion ordnet jedem Eingabewert aus dem Definitionsbereich einen Ausgabewert zu.
Formal kann eine Funktion wie folgt definiert werden:
Gegeben zwei Mengen, X und Y, ist eine Funktion f von X nach Y eine Regel, die jedem Element in X (Definitionsbereich), genannt Eingabe, ein Element in Y (Zielbereich), genannt Ausgabe, zuordnet. Sie wird wie folgt bezeichnet:
f: X → Y
Es ist wichtig zu beachten, dass funktionale Abhängigkeiten immer eindeutig sind: nur ein Wert aus dem Zielbereich Y kann einem Wert aus dem Definitionsbereich X zugeordnet werden. Gleichzeitig können jedoch mehrere Werte aus X einem Wert aus Y entsprechen.
Beispiel 1
Schauen wir uns ein Beispiel an, um es zu verstehen. Angenommen, Sie haben zwei Punkte in der Ebene und möchten den euklidischen Abstand zwischen diesen Punkten berechnen. Dazu verwenden wir die Abstandsfunktion:
Wir haben eine Domäne, die aus Koordinaten von Punkten besteht, und eine Kodomäne, die Distanzen darstellt. Die euklidische Funktion ordnet jedem Punktpaar in der Domäne eine Distanz zu. Es kann nur eine Distanz zwischen zwei bestimmten Punkten geben, aber eine Menge von Punkten kann gleiche Distanzen zueinander haben.
Beispiel 2
Wenn ein Objekt in die Luft geschleudert wird und unter dem Einfluss der Schwerkraft eine gekrümmte Bahn folgt, kann die Flugbahn des Objekts durch eine parabolische Funktion modelliert werden. Die Höhe (y) des Objekts bei einer gegebenen horizontalen Entfernung (x) kann durch die Gleichung einer Parabel dargestellt werden:
1234567891011121314151617181920import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Define the parabolic function def parabola(x): return -0.5 * x**2 + 3 * x + 5 # Generate x values x = np.linspace(0, 6, 100) # Calculate y values using the parabolic function y = parabola(x) # Plot the parabola plt.plot(x, y) plt.xlabel('Horizontal Distance (x)') plt.ylabel('Height (y)') plt.title('Projectile Motion: Parabolic Trajectory') plt.grid(True) plt.show()
Für jedes x gibt es nur einen zugeordneten y-Wert. Aber das Gegenteil ist falsch: dasselbe y kann verschiedenen x-Werten zugeordnet werden.
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In der Mathematik ist eine Funktion ein grundlegendes Konzept, das eine Beziehung zwischen zwei Mengen von Objekten beschreibt, bekannt als Definitionsbereich und Zielbereich. Eine Funktion ordnet jedem Eingabewert aus dem Definitionsbereich einen Ausgabewert zu.
Formal kann eine Funktion wie folgt definiert werden:
Gegeben zwei Mengen, X und Y, ist eine Funktion f von X nach Y eine Regel, die jedem Element in X (Definitionsbereich), genannt Eingabe, ein Element in Y (Zielbereich), genannt Ausgabe, zuordnet. Sie wird wie folgt bezeichnet:
f: X → Y
Es ist wichtig zu beachten, dass funktionale Abhängigkeiten immer eindeutig sind: nur ein Wert aus dem Zielbereich Y kann einem Wert aus dem Definitionsbereich X zugeordnet werden. Gleichzeitig können jedoch mehrere Werte aus X einem Wert aus Y entsprechen.
Beispiel 1
Schauen wir uns ein Beispiel an, um es zu verstehen. Angenommen, Sie haben zwei Punkte in der Ebene und möchten den euklidischen Abstand zwischen diesen Punkten berechnen. Dazu verwenden wir die Abstandsfunktion:
Wir haben eine Domäne, die aus Koordinaten von Punkten besteht, und eine Kodomäne, die Distanzen darstellt. Die euklidische Funktion ordnet jedem Punktpaar in der Domäne eine Distanz zu. Es kann nur eine Distanz zwischen zwei bestimmten Punkten geben, aber eine Menge von Punkten kann gleiche Distanzen zueinander haben.
Beispiel 2
Wenn ein Objekt in die Luft geschleudert wird und unter dem Einfluss der Schwerkraft eine gekrümmte Bahn folgt, kann die Flugbahn des Objekts durch eine parabolische Funktion modelliert werden. Die Höhe (y) des Objekts bei einer gegebenen horizontalen Entfernung (x) kann durch die Gleichung einer Parabel dargestellt werden:
1234567891011121314151617181920import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Define the parabolic function def parabola(x): return -0.5 * x**2 + 3 * x + 5 # Generate x values x = np.linspace(0, 6, 100) # Calculate y values using the parabolic function y = parabola(x) # Plot the parabola plt.plot(x, y) plt.xlabel('Horizontal Distance (x)') plt.ylabel('Height (y)') plt.title('Projectile Motion: Parabolic Trajectory') plt.grid(True) plt.show()
Für jedes x gibt es nur einen zugeordneten y-Wert. Aber das Gegenteil ist falsch: dasselbe y kann verschiedenen x-Werten zugeordnet werden.
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