Lernen Kombinieren von Transformationen | Geometrische Transformationen

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Bei der Arbeit mit geometrischen Formen ist es oft notwendig, mehr als eine Transformation auf eine Form anzuwenden. Dieser Vorgang wird als Transformationen-Kombination bezeichnet. Die Reihenfolge, in der Transformationen wie Verschiebung, Rotation und Skalierung angewendet werden, ist von großer Bedeutung, da jede Transformation die Position, Größe oder Ausrichtung der Form so verändert, dass sie die nächste Operation beeinflusst.

Angenommen, Sie beginnen mit einem Polygon und möchten es zunächst verschieben, dann rotieren und schließlich skalieren. Wenn Sie die Reihenfolge ändern – zum Beispiel zuerst skalieren, dann rotieren und dann verschieben – kann das Ergebnis völlig anders ausfallen. Das liegt daran, dass Transformationen nicht kommutativ sind: A gefolgt von B ergibt nicht immer dasselbe wie B gefolgt von A.

Um Transformationen zu kombinieren, wenden Sie jede einzelne nacheinander auf die Form an. Jeder Schritt verwendet das Ergebnis des vorherigen Schritts als Eingabe. Mit diesem Ansatz lassen sich komplexe Manipulationen aus einfachen Operationen aufbauen, wobei jedoch stets auf die Reihenfolge geachtet werden muss.


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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define a simple triangle polygon
polygon = np.array([
    [0, 0],
    [1, 0],
    [0.5, 1],
    [0, 0]
])

# Translation: move by (2, 1)
def translate(points, tx, ty):
    return points + np.array([tx, ty])

# Rotation: rotate by theta degrees around origin
def rotate(points, theta_deg):
    theta = np.radians(theta_deg)
    rotation_matrix = np.array([
        [np.cos(theta), -np.sin(theta)],
        [np.sin(theta),  np.cos(theta)]
    ])
    return points @ rotation_matrix.T

# Scaling: scale by (sx, sy)
def scale(points, sx, sy):
    scaling_matrix = np.array([
        [sx, 0],
        [0, sy]
    ])
    return points @ scaling_matrix.T

# Apply transformations
translated = translate(polygon, 2, 1)
rotated = rotate(translated, 45)
scaled = scale(rotated, 1.5, 0.5)

# Plotting
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(polygon[:, 0], polygon[:, 1], 'bo-', label='Original')
plt.plot(translated[:, 0], translated[:, 1], 'go-', label='Translated')
plt.plot(rotated[:, 0], rotated[:, 1], 'ro-', label='Rotated')
plt.plot(scaled[:, 0], scaled[:, 1], 'mo-', label='Scaled')
plt.legend()
plt.axis('equal')
plt.title('Combining Translation, Rotation, and Scaling')
plt.show()

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