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Ultimatives Numpy

Grundlegende Lineare Algebra mit NumPy

Lineare Algebra ist ein grundlegender Zweig der Mathematik, der eine entscheidende Rolle in verschiedenen Bereichen spielt, einschließlich maschinelles Lernen, tiefes Lernen und Datenanalyse.

Vektoren und Matrizen

In der linearen Algebra ist ein Vektor eine geordnete Menge von Werten. 1D NumPy-Arrays können Vektoren effizient darstellen. Eine Matrix ist ein zweidimensionales Array von Zahlen, das durch ein 2D-Array in NumPy dargestellt werden kann.

Wir haben bereits die Vektor- und Matrixaddition und -subtraktion sowie die Skalarmultiplikation im Kapitel "Grundlegende mathematische Operationen" behandelt. Hier werden wir uns auf andere Operationen konzentrieren.

Transposition

Transposition ist eine Operation, die eine Matrix über ihre Diagonale spiegelt. Mit anderen Worten, sie wandelt die Zeilen der Matrix in Spalten und die Spalten in Zeilen um.

Sie können eine Matrix mit dem .T Attribut eines NumPy Arrays transponieren:


              12345
            
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
# Transposing a matrix
transposed_matrix = matrix.T
print(transposed_matrix)

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist vielleicht die am häufigsten verwendete lineare Algebraoperation im Bereich des maschinellen Lernens und des Deep Learnings. Das Skalarprodukt zweier Vektoren (die eine gleiche Anzahl von Elementen haben müssen) ist die Summe ihrer elementweisen Produkte. Das Ergebnis ist ein Skalar:

Matrixmultiplikation

Matrixmultiplikation ist nur definiert, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix ist. Die resultierende Matrix hat die gleiche Anzahl von Zeilen wie die erste Matrix und die gleiche Anzahl von Spalten wie die zweite Matrix.

Wie Sie sehen können, ist jedes Element der resultierenden Matrix das Skalarprodukt zweier Vektoren. Die Zeilennummer des Elements entspricht der Nummer des Zeilenvektors in der ersten Matrix, und die Spaltennummer entspricht der Nummer des Spaltenvektors in der zweiten Matrix.

Die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix muss gleich der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix sein, da das Skalarprodukt erfordert, dass die beiden Vektoren die gleiche Anzahl von Elementen haben.

Skalarprodukt und Matrixmultiplikation in NumPy

NumPy bietet die dot()-Funktion sowohl für das Skalarprodukt als auch für die Matrixmultiplikation. Diese Funktion nimmt zwei Arrays als Argumente.

Sie können jedoch auch den @ Operator zwischen zwei Arrays verwenden, um die gleichen Ergebnisse zu erzielen.


              12345678910111213
            
import numpy as np
vector_1 = np.array([1, 2, 3])
vector_2 = np.array([4, 5, 6])
# Dot product using the dot() function
print(np.dot(vector_1, vector_2))
# Dot product using the @ operator
print(vector_1 @ vector_2)
matrix_1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
matrix_2 = np.array([[7, 10], [8, 11], [9, 12]])
# Matrix multiplication using the dot() function
print(np.dot(matrix_1, matrix_2))
# Matrix multiplication using the @ operator
print(matrix_1 @ matrix_2)

Wenn das rechte Argument bei der Matrixmultiplikation ein Vektor (1D-Array) ist, behandelt NumPy es als eine Matrix, bei der die letzte Dimension 1 ist. Zum Beispiel, wenn eine 6x4 Matrix mit einem Vektor mit 4 Elementen multipliziert wird, wird der Vektor als 4x1 Matrix betrachtet.

Wenn das linke Argument bei der Matrixmultiplikation ein Vektor ist, behandelt NumPy es als eine Matrix, bei der die erste Dimension 1 ist. Zum Beispiel, wenn ein Vektor mit 4 Elementen mit einer 4x6 Matrix multipliziert wird, wird der Vektor als 1x4 Matrix betrachtet.

Das untenstehende Bild zeigt die Struktur der exam_scores und coefficients Arrays, die in der Aufgabe verwendet werden:

Aufgabe

Swipe to start coding

Sie arbeiten mit dem exam_scores Array, das simulierte Prüfungsergebnisse von drei Studenten enthält (jede Zeile repräsentiert einen Studenten) über drei Fächer (jede Spalte repräsentiert ein Fach).

Multiplizieren Sie die Ergebnisse jeder Fachprüfung mit dem jeweiligen Koeffizienten.
Addieren Sie die resultierenden Ergebnisse für jeden Studenten, um ihre Endnote zu berechnen.
Berechnen Sie das Skalarprodukt zwischen exam_scores und coefficients.

Dies gibt Ihnen die Endnoten für alle Studenten basierend auf den gewichteten Beiträgen ihrer Fachnoten.

Lösung

Wechseln Sie zum Desktop, um in der realen Welt zu übenFahren Sie dort fort, wo Sie sind, indem Sie eine der folgenden Optionen verwenden

War alles klar?

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Abschnitt 4. Kapitel 4

Grundlegende Lineare Algebra mit NumPy

Lineare Algebra ist ein grundlegender Zweig der Mathematik, der eine entscheidende Rolle in verschiedenen Bereichen spielt, einschließlich maschinelles Lernen, tiefes Lernen und Datenanalyse.

Vektoren und Matrizen

Transposition

Transposition ist eine Operation, die eine Matrix über ihre Diagonale spiegelt. Mit anderen Worten, sie wandelt die Zeilen der Matrix in Spalten und die Spalten in Zeilen um.

Sie können eine Matrix mit dem .T Attribut eines NumPy Arrays transponieren:


              12345
            
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
# Transposing a matrix
transposed_matrix = matrix.T
print(transposed_matrix)

Skalarprodukt

Matrixmultiplikation

Skalarprodukt und Matrixmultiplikation in NumPy

NumPy bietet die dot()-Funktion sowohl für das Skalarprodukt als auch für die Matrixmultiplikation. Diese Funktion nimmt zwei Arrays als Argumente.

Sie können jedoch auch den @ Operator zwischen zwei Arrays verwenden, um die gleichen Ergebnisse zu erzielen.


              12345678910111213
            
import numpy as np
vector_1 = np.array([1, 2, 3])
vector_2 = np.array([4, 5, 6])
# Dot product using the dot() function
print(np.dot(vector_1, vector_2))
# Dot product using the @ operator
print(vector_1 @ vector_2)
matrix_1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
matrix_2 = np.array([[7, 10], [8, 11], [9, 12]])
# Matrix multiplication using the dot() function
print(np.dot(matrix_1, matrix_2))
# Matrix multiplication using the @ operator
print(matrix_1 @ matrix_2)

Das untenstehende Bild zeigt die Struktur der exam_scores und coefficients Arrays, die in der Aufgabe verwendet werden:

Aufgabe

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Multiplizieren Sie die Ergebnisse jeder Fachprüfung mit dem jeweiligen Koeffizienten.
Addieren Sie die resultierenden Ergebnisse für jeden Studenten, um ihre Endnote zu berechnen.
Berechnen Sie das Skalarprodukt zwischen exam_scores und coefficients.

Dies gibt Ihnen die Endnoten für alle Studenten basierend auf den gewichteten Beiträgen ihrer Fachnoten.

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