Lernen Kurvenanpassung und Kleinste Quadrate | Optimierung und Nullstellensuche

Einführung in SciPy

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Kurvenanpassung ist ein grundlegendes Werkzeug in der Datenanalyse, das es ermöglicht, die Beziehung zwischen Variablen zu modellieren, indem eine mathematische Funktion an beobachtete Datenpunkte angepasst wird. Durch die Identifikation der Kurve, die die Daten am besten repräsentiert, können Vorhersagen getroffen, zugrunde liegende Trends erkannt und Beziehungen quantifiziert werden. Kurvenanpassung wird häufig in der wissenschaftlichen Forschung, im Ingenieurwesen und in der Wirtschaft eingesetzt, beispielsweise zur Kalibrierung von Messgeräten, zur Modellierung experimenteller Daten und zur Prognose.


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import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt

# Generate synthetic data with noise
def model_func(x, a, b, c):
    return a * np.exp(-b * x) + c

np.random.seed(0)
x_data = np.linspace(0, 4, 50)
y_data = model_func(x_data, 2.5, 1.3, 0.5) + 0.2 * np.random.normal(size=x_data.size)

# Fit the model to the data
popt, pcov = curve_fit(model_func, x_data, y_data)

# Plot the data and the fitted curve
plt.scatter(x_data, y_data, label="Data")
plt.plot(x_data, model_func(x_data, *popt), color="red", label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("Curve Fitting with curve_fit")
plt.show()

print("Fitted parameters:", popt)


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import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares
import matplotlib.pyplot as plt

# Generate synthetic data
def true_func(x):
    return 3 * x**2 + 2 * x + 1

np.random.seed(1)
x = np.linspace(-3, 3, 30)
y = true_func(x) + np.random.normal(scale=2, size=x.size)

# Define the residuals function for least_squares
def residuals(params, x, y):
    a, b, c = params
    return a * x**2 + b * x + c - y

# Initial guess for parameters
initial_guess = [1, 1, 1]
result = least_squares(residuals, initial_guess, args=(x, y))
a_fit, b_fit, c_fit = result.x

# Plot the results
plt.scatter(x, y, label="Data")
plt.plot(x, true_func(x), label="True Function", linestyle="dashed")
plt.plot(x, a_fit * x**2 + b_fit * x + c_fit, color="red", label="Least Squares Fit")
plt.legend()
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("Least Squares Fitting with least_squares")
plt.show()

print("Estimated parameters:", a_fit, b_fit, c_fit)

Nach der Anpassung eines Modells an Ihre Daten erhalten Sie Parameterschätzungen, die die zugrunde liegende Beziehung gemäß der gewählten Funktion am besten beschreiben. Diese angepassten Parameter können im Kontext Ihres Modells interpretiert werden; zum Beispiel die Koeffizienten in einem Polynom oder die Rate in einem exponentiellen Zerfall. Die Qualität der Anpassung kann durch die Untersuchung der Residuen (Differenzen zwischen beobachteten und vorhergesagten Werten), die Visualisierung der Anpassung und die Berechnung statistischer Kennzahlen wie der Summe der quadrierten Residuen oder dem Bestimmtheitsmaß (R²) bewertet werden. Das Verständnis der Bedeutung dieser Parameterschätzungen und ihrer Unsicherheiten ist entscheidend, um zuverlässige Schlussfolgerungen aus Ihrer Analyse zu ziehen.

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Abschnitt 3. Kapitel 3

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Abschnitt 3. Kapitel 3

Kurvenanpassung und Kleinste Quadrate

1. Welche Funktion wird in SciPy für die Kurvenanpassung verwendet?

2. Was minimiert die Methode der kleinsten Quadrate?

3. Wie kann die Qualität einer Kurvenanpassung beurteilt werden?