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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit misst die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses, vorausgesetzt, ein anderes Ereignis ist bereits eingetreten.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}


              12345
            
P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

Interpretation: Wenn es regnet, besteht eine 50%ige Wahrscheinlichkeit, dass Sie zu spät zur Arbeit kommen.

Satz von Bayes

Der Satz von Bayes hilft dabei, $P(A|B)$ zu bestimmen, wenn diese Wahrscheinlichkeit schwer direkt zu messen ist, indem er sie mit $P(B|A)$ in Beziehung setzt, was oft leichter zu schätzen ist.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Dabei gilt:

$P(A \mid B)$ – Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B (Zielgröße);
$P(B \mid A)$ – Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A;
$P(A)$ – a-priori Wahrscheinlichkeit von A;
$P(B)$ – Gesamtwahrscheinlichkeit von B.

Erweiterung von $P(B)$

P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)


              123456789101112
            
P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

Interpretation: Selbst bei einem positiven Testergebnis besteht nur eine Wahrscheinlichkeit von etwa 16,7 %, die Krankheit tatsächlich zu haben.

Wichtige Erkenntnisse

Bedingte Wahrscheinlichkeit bestimmt die Chance, dass A eintritt, wenn bekannt ist, dass B eingetreten ist;
Der Satz von Bayes kehrt bedingte Wahrscheinlichkeiten um, um Überzeugungen zu aktualisieren, wenn eine direkte Messung schwierig ist;
Beide sind essenziell in Data Science, medizinischer Diagnostik und maschinellem Lernen.

War alles klar?

Danke für Ihr Feedback!

Abschnitt 5. Kapitel 4

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Implementierung der Bedingten Wahrscheinlichkeit und des Satzes von Bayes in Python

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit misst die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses, vorausgesetzt, ein anderes Ereignis ist bereits eingetreten.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}


              12345
            
P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

Interpretation: Wenn es regnet, besteht eine 50%ige Wahrscheinlichkeit, dass Sie zu spät zur Arbeit kommen.

Satz von Bayes

Der Satz von Bayes hilft dabei, $P(A|B)$ zu bestimmen, wenn diese Wahrscheinlichkeit schwer direkt zu messen ist, indem er sie mit $P(B|A)$ in Beziehung setzt, was oft leichter zu schätzen ist.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Dabei gilt:

$P(A \mid B)$ – Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B (Zielgröße);
$P(B \mid A)$ – Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A;
$P(A)$ – a-priori Wahrscheinlichkeit von A;
$P(B)$ – Gesamtwahrscheinlichkeit von B.

Erweiterung von $P(B)$

P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)


              123456789101112
            
P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

Interpretation: Selbst bei einem positiven Testergebnis besteht nur eine Wahrscheinlichkeit von etwa 16,7 %, die Krankheit tatsächlich zu haben.

Wichtige Erkenntnisse

Bedingte Wahrscheinlichkeit bestimmt die Chance, dass A eintritt, wenn bekannt ist, dass B eingetreten ist;
Der Satz von Bayes kehrt bedingte Wahrscheinlichkeiten um, um Überzeugungen zu aktualisieren, wenn eine direkte Messung schwierig ist;
Beide sind essenziell in Data Science, medizinischer Diagnostik und maschinellem Lernen.

War alles klar?

Danke für Ihr Feedback!

Abschnitt 5. Kapitel 4