Lernen Verstehen von Stichproben | Wahrscheinlichkeit & Statistik

Definition

Stichprobenziehung ist der Prozess, eine Teilmenge von Daten aus einer größeren Grundgesamtheit auszuwählen, um Erkenntnisse zu gewinnen und Rückschlüsse auf das Ganze zu ziehen. Da es oft unpraktisch oder unmöglich ist, Daten aus der gesamten Grundgesamtheit zu erheben, ermöglicht die Stichprobenziehung eine effiziente Analyse bei gleichzeitiger Wahrung der Qualität und Genauigkeit der Ergebnisse.

Einfache Zufallsstichprobe

Jedes Mitglied der Grundgesamtheit hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden.
Dies ist vergleichbar mit dem Ziehen von Namen aus einem Hut.

P(\text{Auswahl eines beliebigen Individuums}) = \frac{1}{N}

Dabei gilt:

$N$ = Grundgesamtheitsgröße.

Beispiel 1:

In einer Klasse mit 30 Studierenden sollen zufällig 5 für eine Umfrage ausgewählt werden.

Lösung: Mit einem Zufallszahlengenerator werden 5 eindeutige Zahlen zwischen 1 und 30 ausgewählt. Jede Person hat eine $\tfrac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}}$ Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden.

Beispiel 2:

Eine Klasse besteht aus 30 Studierenden, von denen 5 für die Teilnahme an einer Umfrage ausgewählt werden sollen.

Gesamtpopulation: $N=30$ ;
Stichprobengröße: $n=5$ .

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl Alice als auch Bob ausgewählt werden?

Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 5 Studierende aus 30 auszuwählen:

\binom{30}{5}

Anzahl der günstigen Stichproben, die sowohl Alice als auch Bob enthalten:
Alice und Bob werden festgelegt — es müssen noch 3 weitere aus den verbleibenden 28 ausgewählt werden:

\binom{28}{3}

Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit:

P = \frac{\binom{28}{3}}{\binom{30}{5}}

Geschichtete Stichprobe (Stratified Sampling)

Die Grundgesamtheit wird in sinnvolle Untergruppen (Schichten) unterteilt, aus denen jeweils zufällige Stichproben gezogen werden.

n_h = \frac{N_h}{N} \times n

Dabei gilt:

$N_h$ – Größe der Untergruppe $h$ ;
$N$ – Gesamtgröße der Population;
$n$ – Gesamtgröße der Stichprobe;
$n_{\raisebox{-1pt}{$h$}}$ – Stichprobengröße aus Untergruppe $h$ .

Beispiel:

Eine Klasse besteht aus 30 Studierenden: 18 männlich und 12 weiblich. Es sollen proportional 10 Studierende ausgewählt werden:

Aus der Gruppe der männlichen Studierenden: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$18$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 6$ ;
Aus der Gruppe der weiblichen Studierenden: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$12$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 4$ .

Vorteil: Stellt die Repräsentation wichtiger Untergruppen sicher.

Klumpenstichprobe (Cluster Sampling)

Die Grundgesamtheit wird in Gruppen (Cluster) aufgeteilt, und ganze Cluster werden zufällig ausgewählt.

c = \text{Anzahl der zu ziehenden Cluster}

Dabei gilt:

Cluster sind bereits bestehende Gruppen (z. B. Klassenräume, Teams);
Es werden ganze Cluster zufällig ausgewählt, nicht einzelne Individuen.

Beispiel 1:

Ihre Schule hat 5 Klassenräume. Sie möchten eine Stichprobe von 25 Schülern, aber das Befragen einzelner Personen ist zu zeitaufwendig.

Lösung: Wählen Sie zufällig einen Klassenraum aus (da jeder etwa 25 Schüler hat) und befragen Sie alle.

Beispiel 2:

Eine Universität hat 20 Wohnheime, jedes beherbergt 50 Studierende. Sie wählen zufällig 4 Wohnheime aus und befragen alle darin.

Anzahl der Cluster: $N=20$ ;
Ausgewählte Cluster: $n=4$ ;
Studierende pro Wohnheim: $M=50$ ;
Insgesamt befragte Studierende: $n \times M = 200$ .

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Person (z. B. Sarah) enthalten ist?
Sie entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass ihr Wohnheim ausgewählt wird:

P(\text{Sarah selected}) = \frac{4}{20} = 0.2

Komplexer Fall:
Wenn 10 Wohnheime 30 Studierende und 10 Wohnheime 70 Studierende beherbergen und Sie zufällig 4 Wohnheime auswählen, wie groß ist die erwartete Stichprobengröße?

Sei:

$D_{30} = 10$ Wohnheime mit 30 Studierenden;
$D_{70} = 10$ Wohnheime mit 70 Studierenden.

Erwartete Stichprobengröße:

E = \frac{10}{20} \cdot (4 \times 30) + \frac{10}{20} \cdot (4 \times 70) = 200

Selbst wenn Cluster unterschiedlich groß sind, bleibt die erwartete Stichprobengröße gleich, wenn die Wohnheimtypen ausgeglichen sind.

Systematische Stichprobe

Jedes $k$ -te Element aus einer Liste auswählen.

k = \frac{N}{n}

Dabei gilt:

$N$ – Gesamtpopulation;
$n$ – gewünschte Stichprobengröße;
$k$ – Stichprobenintervall.

Beispiel:

Eine Liste mit 1000 Kunden. Sie möchten eine Stichprobe von 100. Also:

k = \frac{1000}{100} = 10

Wählen Sie einen zufälligen Startpunkt (z. B. 7) und dann jeden 10. Kunden: 7, 17, 27 usw.

Vorteile: Einfach umzusetzen und systematisch.

Alle Methoden an einem Problem angewendet

Problemstellung:
Untersuchung der Zufriedenheit mit der Cafeteria an einer Schule mit 300 Schülern, verteilt auf 10 Klassenräume (je 30 pro Raum). Es soll eine Stichprobe von 30 Schülern gezogen werden.

Einfache Zufallsauswahl: Zufällige Auswahl von 30 Namen aus der Gesamtliste;
Stratifizierte Auswahl: Wenn 60 % Jungen und 40 % Mädchen sind, Auswahl von 18 Jungen und 12 Mädchen;
Klumpenauswahl: Zufällige Auswahl einer Klasse (30 Schüler) und Befragung aller;
Systematische Auswahl: Auswahl jedes 10. Schülers aus einer geordneten Liste.

Zusammenfassung

Stichproben reduzieren den Aufwand der Datenerhebung und ermöglichen Verallgemeinerungen;
Zufalls- und stratifizierte Stichproben sind am genauesten;
Klumpenstichproben sind effizient, funktionieren aber am besten bei ähnlichen Gruppen;
Systematische Stichproben sind einfach und praktisch;
Gelegenheitsstichproben sind riskant und sollten möglichst vermieden werden;
Die gewählte Stichprobenmethode sollte in der Praxis immer dokumentiert werden.

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Abschnitt 5. Kapitel 5

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Definition

Einfache Zufallsstichprobe

Jedes Mitglied der Grundgesamtheit hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden.
Dies ist vergleichbar mit dem Ziehen von Namen aus einem Hut.

P(\text{Auswahl eines beliebigen Individuums}) = \frac{1}{N}

Dabei gilt:

$N$ = Grundgesamtheitsgröße.

Beispiel 1:

In einer Klasse mit 30 Studierenden sollen zufällig 5 für eine Umfrage ausgewählt werden.

Beispiel 2:

Eine Klasse besteht aus 30 Studierenden, von denen 5 für die Teilnahme an einer Umfrage ausgewählt werden sollen.

Gesamtpopulation: $N=30$ ;
Stichprobengröße: $n=5$ .

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl Alice als auch Bob ausgewählt werden?

Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 5 Studierende aus 30 auszuwählen:

\binom{30}{5}

Anzahl der günstigen Stichproben, die sowohl Alice als auch Bob enthalten:
Alice und Bob werden festgelegt — es müssen noch 3 weitere aus den verbleibenden 28 ausgewählt werden:

\binom{28}{3}

Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit:

P = \frac{\binom{28}{3}}{\binom{30}{5}}

Geschichtete Stichprobe (Stratified Sampling)

Die Grundgesamtheit wird in sinnvolle Untergruppen (Schichten) unterteilt, aus denen jeweils zufällige Stichproben gezogen werden.

n_h = \frac{N_h}{N} \times n

Dabei gilt:

$N_h$ – Größe der Untergruppe $h$ ;
$N$ – Gesamtgröße der Population;
$n$ – Gesamtgröße der Stichprobe;
$n_{\raisebox{-1pt}{$h$}}$ – Stichprobengröße aus Untergruppe $h$ .

Beispiel:

Eine Klasse besteht aus 30 Studierenden: 18 männlich und 12 weiblich. Es sollen proportional 10 Studierende ausgewählt werden:

Aus der Gruppe der männlichen Studierenden: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$18$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 6$ ;
Aus der Gruppe der weiblichen Studierenden: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$12$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 4$ .

Vorteil: Stellt die Repräsentation wichtiger Untergruppen sicher.

Klumpenstichprobe (Cluster Sampling)

Die Grundgesamtheit wird in Gruppen (Cluster) aufgeteilt, und ganze Cluster werden zufällig ausgewählt.

c = \text{Anzahl der zu ziehenden Cluster}

Dabei gilt:

Cluster sind bereits bestehende Gruppen (z. B. Klassenräume, Teams);
Es werden ganze Cluster zufällig ausgewählt, nicht einzelne Individuen.

Beispiel 1:

Ihre Schule hat 5 Klassenräume. Sie möchten eine Stichprobe von 25 Schülern, aber das Befragen einzelner Personen ist zu zeitaufwendig.

Lösung: Wählen Sie zufällig einen Klassenraum aus (da jeder etwa 25 Schüler hat) und befragen Sie alle.

Beispiel 2:

Eine Universität hat 20 Wohnheime, jedes beherbergt 50 Studierende. Sie wählen zufällig 4 Wohnheime aus und befragen alle darin.

Anzahl der Cluster: $N=20$ ;
Ausgewählte Cluster: $n=4$ ;
Studierende pro Wohnheim: $M=50$ ;
Insgesamt befragte Studierende: $n \times M = 200$ .

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Person (z. B. Sarah) enthalten ist?
Sie entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass ihr Wohnheim ausgewählt wird:

P(\text{Sarah selected}) = \frac{4}{20} = 0.2

Komplexer Fall:
Wenn 10 Wohnheime 30 Studierende und 10 Wohnheime 70 Studierende beherbergen und Sie zufällig 4 Wohnheime auswählen, wie groß ist die erwartete Stichprobengröße?

Sei:

$D_{30} = 10$ Wohnheime mit 30 Studierenden;
$D_{70} = 10$ Wohnheime mit 70 Studierenden.

Erwartete Stichprobengröße:

E = \frac{10}{20} \cdot (4 \times 30) + \frac{10}{20} \cdot (4 \times 70) = 200

Selbst wenn Cluster unterschiedlich groß sind, bleibt die erwartete Stichprobengröße gleich, wenn die Wohnheimtypen ausgeglichen sind.

Systematische Stichprobe

Jedes $k$ -te Element aus einer Liste auswählen.

k = \frac{N}{n}

Dabei gilt:

$N$ – Gesamtpopulation;
$n$ – gewünschte Stichprobengröße;
$k$ – Stichprobenintervall.

Beispiel:

Eine Liste mit 1000 Kunden. Sie möchten eine Stichprobe von 100. Also:

k = \frac{1000}{100} = 10

Wählen Sie einen zufälligen Startpunkt (z. B. 7) und dann jeden 10. Kunden: 7, 17, 27 usw.

Vorteile: Einfach umzusetzen und systematisch.

Alle Methoden an einem Problem angewendet

Einfache Zufallsauswahl: Zufällige Auswahl von 30 Namen aus der Gesamtliste;
Stratifizierte Auswahl: Wenn 60 % Jungen und 40 % Mädchen sind, Auswahl von 18 Jungen und 12 Mädchen;
Klumpenauswahl: Zufällige Auswahl einer Klasse (30 Schüler) und Befragung aller;
Systematische Auswahl: Auswahl jedes 10. Schülers aus einer geordneten Liste.

Zusammenfassung

Stichproben reduzieren den Aufwand der Datenerhebung und ermöglichen Verallgemeinerungen;
Zufalls- und stratifizierte Stichproben sind am genauesten;
Klumpenstichproben sind effizient, funktionieren aber am besten bei ähnlichen Gruppen;
Systematische Stichproben sind einfach und praktisch;
Gelegenheitsstichproben sind riskant und sollten möglichst vermieden werden;
Die gewählte Stichprobenmethode sollte in der Praxis immer dokumentiert werden.

War alles klar?

Danke für Ihr Feedback!

Abschnitt 5. Kapitel 5