Stichproben Verstehen

Einfache Zufallsstichprobe

Jedes Mitglied der Grundgesamtheit hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden.
Dies ist vergleichbar mit dem Ziehen von Namen aus einem Hut.

Dabei gilt:

• $N$ = Grundgesamtheitsgröße.

Beispiel 1:

Es gibt eine Klasse mit 30 Studierenden. Es sollen zufällig 5 für eine Umfrage ausgewählt werden.

Lösung: Verwenden Sie einen Zufallszahlengenerator, um 5 eindeutige Zahlen zwischen 1 und 30 auszuwählen. Jede Person hat eine $\tfrac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}}$ Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden.

Beispiel 2:

Eine Klasse besteht aus 30 Studierenden, von denen 5 für eine Umfrage ausgewählt werden sollen.

• Gesamtpopulation: $N=30$;
• Stichprobengröße: $n=5$.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl Alice als auch Bob ausgewählt werden?

Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 5 Studierende aus 30 auszuwählen:

Anzahl der günstigen Stichproben, die sowohl Alice als auch Bob enthalten:
Alice und Bob werden festgelegt — es müssen noch 3 weitere aus den verbleibenden 28 ausgewählt werden:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit:

Geschichtete Stichprobe (Stratified Sampling)

Die Grundgesamtheit wird in sinnvolle Untergruppen (Schichten) unterteilt, aus denen jeweils zufällige Stichproben entnommen werden.

Dabei gilt:

• $N_h$ – Größe der Untergruppe $h$;
• $N$ – Gesamtgröße der Population;
• $n$ – Gesamtgröße der Stichprobe;
• $n_{\raisebox{-1pt}{$h$}}$ – Stichprobengröße aus Untergruppe $h$.

Beispiel:

Eine Klasse besteht aus 30 Studierenden: 18 männlich und 12 weiblich. Es sollen proportional 10 Studierende gezogen werden:

• Aus der Gruppe der männlichen: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$18$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 6$;
• Aus der Gruppe der weiblichen: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$12$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 4$.

Vorteil: Gewährleistet die Repräsentation wichtiger Untergruppen.

Klumpenstichprobe (Cluster Sampling)

Die Grundgesamtheit wird in Gruppen (Cluster) aufgeteilt, und ganze Cluster werden zufällig ausgewählt.

Dabei gilt:

• Cluster sind bereits bestehende Gruppen (z. B. Klassenräume, Teams);
• Es werden ganze Cluster zufällig ausgewählt, nicht einzelne Individuen.

Beispiel 1:

Ihre Schule hat 5 Klassenräume. Sie möchten eine Stichprobe von 25 Schülern, aber das Befragen einzelner Personen ist zu zeitaufwendig.

Lösung: Wählen Sie zufällig einen Klassenraum aus (da jeder etwa 25 Schüler hat) und befragen Sie alle.

Beispiel 2:

Eine Universität hat 20 Wohnheime, jedes beherbergt 50 Studierende. Sie wählen zufällig 4 Wohnheime aus und befragen alle darin.

• Anzahl der Cluster: $N=20$;
• Ausgewählte Cluster: $n=4$;
• Studierende pro Wohnheim: $M=50$;
• Insgesamt befragte Studierende: $n \times M = 200$.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Person (z. B. Sarah) enthalten ist?
Sie entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass ihr Wohnheim ausgewählt wird:

Komplexer Fall:
Wenn 10 Wohnheime 30 Studierende und 10 Wohnheime 70 Studierende beherbergen und Sie zufällig 4 Wohnheime auswählen, wie groß ist die erwartete Stichprobengröße?

Sei:

• $D_{30} = 10$ Wohnheime mit 30 Studierenden;
• $D_{70} = 10$ Wohnheime mit 70 Studierenden.

Erwartete Stichprobengröße:

Selbst wenn Cluster unterschiedlich groß sind, bleibt die erwartete Stichprobengröße gleich, wenn die Wohnheimtypen ausgeglichen sind.

Systematische Stichprobe

Jedes $k$-te Element aus einer Liste auswählen.

Dabei gilt:

• $N$ – Gesamtpopulation;
• $n$ – gewünschte Stichprobengröße;
• $k$ – Stichprobenintervall.

Beispiel:

Eine Liste mit 1000 Kunden. Sie möchten eine Stichprobe von 100. Also:

Wählen Sie einen zufälligen Startpunkt (z. B. 7) und dann jedes 10. Element: 7, 17, 27 usw.

Vorteile: Einfach umzusetzen und systematisch.

Alle Methoden an einem Problem angewendet

Problemstellung:
Sie untersuchen die Zufriedenheit mit der Cafeteria an einer Schule mit 300 Schülern, verteilt auf 10 Klassenräume (je 30 pro Raum). Sie möchten eine Stichprobe von 30 Schülern ziehen.

• Einfache Zufallsauswahl: 30 Namen zufällig aus der Gesamtliste auswählen;
• Stratifiziert: Wenn 60% Jungen und 40% Mädchen sind, 18 Jungen und 12 Mädchen auswählen;
• Klumpenstichprobe: Eine Klasse (30 Schüler) zufällig auswählen und alle befragen;
• Systematisch: Jeden 10. Schüler aus einer geordneten Liste auswählen.

Zusammenfassung

• Stichproben reduzieren den Aufwand der Datenerhebung und ermöglichen dennoch Verallgemeinerungen;
• Zufalls- und stratifizierte Stichproben bieten die höchste Genauigkeit;
• Klumpenstichproben sind effizient, funktionieren aber am besten, wenn die Klumpen ähnlich sind;
• Systematische Stichproben sind einfach und praktisch;
• Gelegenheitsstichproben sind riskant und sollten möglichst vermieden werden;
• Die gewählte Stichprobenmethode sollte bei Analysen in der Praxis immer dokumentiert werden.