Lernen Verständnis von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie wahrscheinlich verschiedene Ergebnisse sind. Bei diskreten Ergebnissen (wie "Anzahl defekter Stäbe") werden die Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Anzahl aufgelistet. Bei kontinuierlichen Messungen (wie Länge oder Gewicht) wird die Dichte über einen Bereich beschrieben. Allgemeine Formeln für diskrete vs. kontinuierliche Verteilungen:

P(X \in A) = \sum_{x \in A}p(x)\quad(\text{diskret}) \\[6pt] P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)dx \quad (kontinuierlich)

Beispiel (schnelle Überprüfung): Wenn ein Prozess garantiert, dass alle Längen zwischen 49,5 und 50,5 cm gleich wahrscheinlich sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stab in einem 0,4 cm breiten Teilbereich liegt, gleich der Teilbereichsbreite geteilt durch 1,0 cm (dies ist die Idee der Gleichverteilung — unten zeigen wir dies im Detail).

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung modelliert die Anzahl der Erfolge (z. B. defekte Stäbe) in einer festen Anzahl unabhängiger Versuche (z. B. 100 Stäbe), wobei jeder Versuch die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit hat.

Formel:

P(X = k) = \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}

Beispiel:

In einer Charge von $n=100$ Stäben, bei der jeder Stab unabhängig mit Wahrscheinlichkeit $p=0.02$ defekt ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau $k=3$ Stäbe defekt sind?

Schritt 1 — Kombination berechnen:

\begin{pmatrix}100 \\ 3\end{pmatrix} = \frac{100!}{3!97!} = 161700

Schritt 2 — Potenzen berechnen:

p^3 = 0.02^3 = 0.000008 \\ (1-p)^{97} = 0.98^{97} \approx 0.1409059532

Schritt 3 — Alle Teile multiplizieren:

P(X = 3) = 161700 \times 0.000008 \times 0.1409059532 \approx 0.182275941

Bedeutung: Etwa 18,23 % Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von 100 Stäben genau 3 defekt sind. Wenn Sie 3 Defekte sehen, ist das ein plausibles Ergebnis.

Hinweis

Wenn die berechnete Wahrscheinlichkeit größer als 1 oder negativ erscheint, überprüfen Sie die Kombination oder die Potenzberechnungen. Vergleichen Sie außerdem einen Wert der Binomial-pmf mit der cdf, wenn Sie "höchstens"- oder "mindestens"-Antworten benötigen.

Gleichverteilung

Die Gleichverteilung modelliert eine kontinuierliche Messung, bei der jeder Wert innerhalb eines Bereichs [a,b] gleich wahrscheinlich ist (z. B. ein Toleranzbereich für Stablängen).

Formel:

f(x) = \frac{1}{b-a},\quad a \le x \le b

Wahrscheinlichkeit zwischen zwei Punkten:

P(l \le X \le u) = \frac{u - l}{b - a}

Beispiel:

Parameter: a=49.5, b=50.5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stablänge X zwischen 49.8 und 50.2 liegt? Berechnung der Bereichsbreite:

b-a = 50.5 - 49.5 = 1.0

Berechnung des Teilintervalls:

u - l = 50.2 - 49.8 = 0.4

Wahrscheinlichkeit:

P(49.8 \le X \le 50.2) = \frac{0.4}{1.0} = 0.4

Interpretation: Es besteht eine 40%ige Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gemessener Stab in diesen engeren Toleranzbereich fällt.

Hinweis

Stellen Sie sicher, dass $a<b$ gilt und Ihr Teilbereich innerhalb von $[a,b]$ liegt; andernfalls müssen Sie die Endpunkte anpassen und Bereiche außerhalb mit Wahrscheinlichkeit 0 behandeln.

Normalverteilung

Die Normalverteilung beschreibt kontinuierliche Messungen, die sich um einen Mittelwert $μ$ gruppieren, wobei die Streuung durch die Standardabweichung $σ$ gemessen wird. Viele Messfehler und natürliche Schwankungen folgen dieser glockenförmigen Kurve.

Formel:

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

Standardisierung mit z-Score:

z = \frac{x-\mu}{\sigma}

Die Wahrscheinlichkeit zwischen zwei Werten wird mit der kumulierten Verteilungsfunktion (CDF) oder Symmetrie für Standardfälle berechnet:

P(a \le X \le b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)

Hierbei ist $\Phi$ die Standardnormalverteilungsfunktion (CDF).

Beispiel A:

Parameter: $μ=200$ , $σ=5$ , gesucht ist $P(195≤X≤205)$ .

z-Scores:

z_1 = \frac{195 - 200}{5} = -1 \\[6pt] z_2 = \frac{205 - 200}{5} = 1

Unter Ausnutzung der Symmetrie der Normalverteilung ergibt sich für den Bereich zwischen $−1$ und $+1$ Standardabweichung die bekannte Wahrscheinlichkeit:

P(195 \le X \le 205) \approx 0.6826894921

Interpretation: Etwa 68,27% der Stabgewichte liegen innerhalb von ±1 Standardabweichung um den Mittelwert — die klassische "68%-Regel".

Hinweis

Wenn die Grenzen symmetrisch um liegen, bekannte empirische Regeln ( $68–95–99.7$ ) anwenden. Für andere Grenzen berechnen und dann eine Tabelle oder einen Rechner verwenden.

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Abschnitt 5. Kapitel 10

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Wahrscheinlichkeitsverteilungen

P(X \in A) = \sum_{x \in A}p(x)\quad(\text{diskret}) \\[6pt] P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)dx \quad (kontinuierlich)

Binomialverteilung

Formel:

P(X = k) = \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}

Beispiel:

In einer Charge von $n=100$ Stäben, bei der jeder Stab unabhängig mit Wahrscheinlichkeit $p=0.02$ defekt ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau $k=3$ Stäbe defekt sind?

Schritt 1 — Kombination berechnen:

\begin{pmatrix}100 \\ 3\end{pmatrix} = \frac{100!}{3!97!} = 161700

Schritt 2 — Potenzen berechnen:

p^3 = 0.02^3 = 0.000008 \\ (1-p)^{97} = 0.98^{97} \approx 0.1409059532

Schritt 3 — Alle Teile multiplizieren:

P(X = 3) = 161700 \times 0.000008 \times 0.1409059532 \approx 0.182275941

Bedeutung: Etwa 18,23 % Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von 100 Stäben genau 3 defekt sind. Wenn Sie 3 Defekte sehen, ist das ein plausibles Ergebnis.

Hinweis

Gleichverteilung

Die Gleichverteilung modelliert eine kontinuierliche Messung, bei der jeder Wert innerhalb eines Bereichs [a,b] gleich wahrscheinlich ist (z. B. ein Toleranzbereich für Stablängen).

Formel:

f(x) = \frac{1}{b-a},\quad a \le x \le b

Wahrscheinlichkeit zwischen zwei Punkten:

P(l \le X \le u) = \frac{u - l}{b - a}

Beispiel:

Parameter: a=49.5, b=50.5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stablänge X zwischen 49.8 und 50.2 liegt? Berechnung der Bereichsbreite:

b-a = 50.5 - 49.5 = 1.0

Berechnung des Teilintervalls:

u - l = 50.2 - 49.8 = 0.4

Wahrscheinlichkeit:

P(49.8 \le X \le 50.2) = \frac{0.4}{1.0} = 0.4

Interpretation: Es besteht eine 40%ige Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gemessener Stab in diesen engeren Toleranzbereich fällt.

Hinweis

Stellen Sie sicher, dass $a<b$ gilt und Ihr Teilbereich innerhalb von $[a,b]$ liegt; andernfalls müssen Sie die Endpunkte anpassen und Bereiche außerhalb mit Wahrscheinlichkeit 0 behandeln.

Normalverteilung

Formel:

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

Standardisierung mit z-Score:

z = \frac{x-\mu}{\sigma}

Die Wahrscheinlichkeit zwischen zwei Werten wird mit der kumulierten Verteilungsfunktion (CDF) oder Symmetrie für Standardfälle berechnet:

P(a \le X \le b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)

Hierbei ist $\Phi$ die Standardnormalverteilungsfunktion (CDF).

Beispiel A:

Parameter: $μ=200$ , $σ=5$ , gesucht ist $P(195≤X≤205)$ .

z-Scores:

z_1 = \frac{195 - 200}{5} = -1 \\[6pt] z_2 = \frac{205 - 200}{5} = 1

Unter Ausnutzung der Symmetrie der Normalverteilung ergibt sich für den Bereich zwischen $−1$ und $+1$ Standardabweichung die bekannte Wahrscheinlichkeit:

P(195 \le X \le 205) \approx 0.6826894921

Interpretation: Etwa 68,27% der Stabgewichte liegen innerhalb von ±1 Standardabweichung um den Mittelwert — die klassische "68%-Regel".

Hinweis

Wenn die Grenzen symmetrisch um liegen, bekannte empirische Regeln ( $68–95–99.7$ ) anwenden. Für andere Grenzen berechnen und dann eine Tabelle oder einen Rechner verwenden.

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