Lernen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Verstehen

Definition

Wahrscheinlichkeit ist das Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt. Sie quantifiziert Unsicherheit und ist in Bereichen wie Data Science, Statistik und maschinellem Lernen unerlässlich, da sie hilft, Muster zu analysieren, Vorhersagen zu treffen und Risiken zu bewerten.

Grundlegende Definition der Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis $A$ eintritt, wird durch folgende Formel angegeben:

P(A) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse}}

Diese Formel zeigt, wie oft unser gewünschtes Ereignis im Vergleich zu allen möglichen Ergebnissen eintreten kann. Die Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher).

Verständnis von Stichprobenraum und Ereignissen

Stichprobenraum – alle möglichen Ergebnisse eines Experiments;
Ereignis – ein bestimmtes Ergebnis oder eine Ergebnismenge, die von Interesse ist.

Beispiel mit dem Werfen einer Münze:

Stichprobenraum = {Heads, Tails} ;
Ereignis A = {Heads} .

Dann gilt:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Vereinigungsregel: "A ODER B tritt ein"

Definition: Die Vereinigung zweier Ereignisse $A \cup B$ umfasst alle Ergebnisse, bei denen entweder $A$ eintritt, $B$ eintritt oder beide eintreten.

Formel:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Die Schnittmenge wird subtrahiert, um eine doppelte Zählung von Ergebnissen, die in beiden Ereignissen auftreten, zu vermeiden.

Beispiel zur Vereinigung: Würfeln mit einem Würfel

Ein sechsseitiger Würfel wird geworfen:

Ereignis A = {1, 2, 3} (eine kleine Zahl würfeln)
Ereignis B = {2, 4, 6} (eine gerade Zahl würfeln)

Vereinigung und Schnittmenge:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Berechnungen Schritt für Schritt:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Anwendung der Vereinigungsformel:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Schnittmengenregel: "A UND B treten beide ein"

Definition: Die Schnittmenge zweier Ereignisse $A \cap B$ umfasst alle Ergebnisse, bei denen sowohl $A$ als auch $B$ gleichzeitig eintreten.

Allgemeine Formel

In allen Fällen:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

wobei $P(B|A)$ die bedingte Wahrscheinlichkeit von $B$ ist, vorausgesetzt, dass $A$ bereits eingetreten ist.

Fall 1: Unabhängige Ereignisse

Wenn die Ereignisse sich nicht gegenseitig beeinflussen (z. B. das Werfen einer Münze und das Würfeln eines Würfels):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Beispiel:

$P(\text{Kopf bei einer Münze}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 bei einem Würfel}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Dann gilt:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Fall 2: Abhängige Ereignisse

Wenn das Ergebnis des ersten Ereignisses das zweite beeinflusst (z. B. Ziehen von Karten ohne Zurücklegen):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Beispiel:

$P(\text{erste Karte ist ein Ass}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{zweite Karte ist ein Ass | erste Karte war ein Ass}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Dann gilt:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

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Abschnitt 5. Kapitel 1

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P(A) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse}}

Diese Formel zeigt, wie oft unser gewünschtes Ereignis im Vergleich zu allen möglichen Ergebnissen eintreten kann. Die Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher).

Verständnis von Stichprobenraum und Ereignissen

Stichprobenraum – alle möglichen Ergebnisse eines Experiments;
Ereignis – ein bestimmtes Ergebnis oder eine Ergebnismenge, die von Interesse ist.

Beispiel mit dem Werfen einer Münze:

Stichprobenraum = {Heads, Tails} ;
Ereignis A = {Heads} .

Dann gilt:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Vereinigungsregel: "A ODER B tritt ein"

Definition: Die Vereinigung zweier Ereignisse $A \cup B$ umfasst alle Ergebnisse, bei denen entweder $A$ eintritt, $B$ eintritt oder beide eintreten.

Formel:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Die Schnittmenge wird subtrahiert, um eine doppelte Zählung von Ergebnissen, die in beiden Ereignissen auftreten, zu vermeiden.

Beispiel zur Vereinigung: Würfeln mit einem Würfel

Ein sechsseitiger Würfel wird geworfen:

Ereignis A = {1, 2, 3} (eine kleine Zahl würfeln)
Ereignis B = {2, 4, 6} (eine gerade Zahl würfeln)

Vereinigung und Schnittmenge:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Berechnungen Schritt für Schritt:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Anwendung der Vereinigungsformel:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Schnittmengenregel: "A UND B treten beide ein"

Definition: Die Schnittmenge zweier Ereignisse $A \cap B$ umfasst alle Ergebnisse, bei denen sowohl $A$ als auch $B$ gleichzeitig eintreten.

Allgemeine Formel

In allen Fällen:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

wobei $P(B|A)$ die bedingte Wahrscheinlichkeit von $B$ ist, vorausgesetzt, dass $A$ bereits eingetreten ist.

Fall 1: Unabhängige Ereignisse

Wenn die Ereignisse sich nicht gegenseitig beeinflussen (z. B. das Werfen einer Münze und das Würfeln eines Würfels):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Beispiel:

$P(\text{Kopf bei einer Münze}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 bei einem Würfel}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Dann gilt:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Fall 2: Abhängige Ereignisse

Wenn das Ergebnis des ersten Ereignisses das zweite beeinflusst (z. B. Ziehen von Karten ohne Zurücklegen):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Beispiel:

$P(\text{erste Karte ist ein Ass}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{zweite Karte ist ein Ass | erste Karte war ein Ass}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Dann gilt:

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