Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit misst die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, vorausgesetzt, ein anderes Ereignis ist bereits eingetreten.

Formel:

wobei:

• $P(A \mid B)$ bedeutet „die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B“;
• $P(A \cap B)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B eintreten;
• $P(B)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt (muss > 0 sein).

Beispiel 1: Bedingte Wahrscheinlichkeit — Wetter und Verkehr

Angenommen:

• Ereignis A: „Ich komme zu spät zur Arbeit“;
• Ereignis B: „Es regnet“.

Gegeben:

• $P(A \cap B) = 0.10$ (10% Wahrscheinlichkeit, dass es regnet UND ich zu spät komme);
• $P(B) = 0.20$ (20% Wahrscheinlichkeit, dass es an einem beliebigen Tag regnet).

Dann gilt:

Interpretation:
Wenn es regnet, besteht eine 50%ige Wahrscheinlichkeit, dass ich zu spät zur Arbeit komme.

Satz von Bayes

Der Satz von Bayes hilft dabei, $P(A \mid B)$ zu bestimmen, wenn diese Wahrscheinlichkeit nicht direkt messbar ist, indem sie mit $P(B \mid A)$ in Beziehung gesetzt wird.

Formel:

Schritt-für-Schritt-Erklärung

Schritt 1: Verständnis von $P(A \mid B)$
Dies wird gelesen als „die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B“.

Beispiel: Wenn A = „eine Krankheit haben“ und B = „positiv getestet werden“, dann fragt $P(A \mid B)$:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person tatsächlich die Krankheit hat, wenn der Test positiv ausfällt?

Schritt 2: Zähler = $P(B \mid A) \cdot P(A)$

• $P(B \mid A)$ = Wahrscheinlichkeit, bei Vorliegen der Krankheit positiv getestet zu werden (Test-Sensitivität);
• $P(A)$ = a-priori Wahrscheinlichkeit für A (Krankheitshäufigkeit).

Schritt 3: Nenner = $P(B)$
Dies ist die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass B eintritt (positives Testergebnis), sowohl durch echte als auch durch falsch-positive Ergebnisse.

Ausführlich:

Dabei gilt:

• $P(B \mid \neg A)$ = Falsch-Positiv-Rate;
• $P(\neg A)$ = Wahrscheinlichkeit, die Krankheit nicht zu haben.

Satz von Bayes — Medizinischer Test

Angenommen:

• Ereignis A: "Eine Krankheit haben";
• Ereignis B: "Positiv getestet werden".

Gegeben:

• Krankheitsprävalenz: $P(A) = 0.01$;
• Sensitivität: $P(B \mid A) = 0.99$;
• Falsch-Positiv-Rate: $P(B \mid \neg A) = 0.05$.

Schritt 1: Gesamte Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis berechnen

Schritt 2: Satz von Bayes anwenden

Interpretation:
Selbst bei einem positiven Testergebnis besteht nur etwa eine 16,7%ige Wahrscheinlichkeit, tatsächlich an der Krankheit zu leiden — da die Krankheit selten ist und es falsch positive Ergebnisse gibt.

Wichtigste Erkenntnisse

• Bedingte Wahrscheinlichkeit bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, wenn bekannt ist, dass B eingetreten ist;
• Der Satz von Bayes kehrt bedingte Wahrscheinlichkeiten um und ermöglicht es, Überzeugungen zu aktualisieren, wenn eine direkte Messung schwierig ist;
• Beide Konzepte sind essenziell in Data Science, maschinellem Lernen, medizinischen Tests und Entscheidungsfindung.