Typen und Eigenschaften

1. Identitätsfunktion

Form: $f(x) = x$

Eigenschaften:

• Verläuft durch den Ursprung $(0, 0)$;
• Eine Gerade mit Steigung $m = 1$;
• Jeder Eingabewert wird auf sich selbst abgebildet;
• Kein Maximum oder Minimum;
• Definitionsmenge: $(-\infty, \infty)$;
• Wertebereich: $(-\infty, \infty)$.

Anwendungsfall: Darstellung unveränderter Daten oder als Referenz bei Transformationen.

2. Konstante Funktion

Form: $f(x) = c$

Eigenschaften:

• Eine horizontale Linie bei $y = c$;
• Der Funktionswert bleibt für alle Eingaben konstant;
• Steigung: $m = 0$;
• Kein Maximum oder Minimum;
• Definitionsmenge: $(-\infty, \infty)$;
• Wertebereich: ${c}$.

Anwendungsfall: Darstellung fester Größen wie Basiswerte oder Pauschalgebühren.

3. Lineare Funktion

Form: $f(x) = mx + b$

Eigenschaften:

• Eine Gerade mit Steigung $m$;
• Steigend, wenn $m > 0$, fallend, wenn $m < 0$;
• X-Achsenabschnitt: $x = -\frac{b}{m}$;
• Y-Achsenabschnitt: $y = b$;
• Kein Maximum oder Minimum;
• Definitionsmenge: $(-\infty, \infty)$;
• Wertebereich: $(-\infty, \infty)$.

Anwendungsfall: Prognose kontinuierlicher Ergebnisse wie Umsatz oder Kosten.

4. Polynomfunktion (Quadratisches Beispiel)

Form: $f(x) = ax^2 + bx + c$

Eigenschaften:

• Parabel (U-förmig bei $a > 0$; umgekehrte U-Form bei $a < 0$);
• Scheitelpunkt bei $x = -\frac{b}{2a}$;
• Nullstellen: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$;
• Y-Achsenabschnitt: $f(0) = c$;
• Definitionsmenge: $(-\infty, \infty)$;
• Wertebereich:
• Falls $a > 0$, dann $[y_{Scheitel}; \infty)$;
  • Falls $a < 0$, dann $(-\infty; y_{Scheitel}]$.

Anwendungsfall: Kurvenanpassung, Regressionsmodelle und Beschreibung nichtlinearer Trends.

5. Gebrochen-rationale Funktion

Form: $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$

Beispiel: $f(x) = \frac{1}{x - 1}$

Verhalten:

• Vertikale Asymptote bei $x = 1$;
• Horizontale Asymptote bei $y = 0$;
• Nicht definiert bei $x = 1$;
• Starker Anstieg und Abfall in der Nähe der Asymptote;
• Definitionsbereich: $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$;
• Wertebereich: $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

Anwendungsfall: Modellierung von eingeschränkten Systemen wie Änderungsraten oder Ressourcennutzung.