Implementierung Rationaler Funktionen in Python

Im Gegensatz zu vorherigen Funktionen erfordern rationale Funktionen besondere Sorgfalt beim Plotten in Python. Da sie undefinierte Punkte und unendliche Werte besitzen, muss der Definitionsbereich aufgeteilt werden, um Fehler zu vermeiden.

1. Definition der Funktion

Wir definieren unsere rationale Funktion wie folgt:

def rational_function(x):
    return 1 / (x - 1)

Wichtige Überlegungen:

• $x = 1$ muss von den Berechnungen ausgeschlossen werden, um eine Division durch Null zu vermeiden;
• Die Funktion wird in zwei Definitionsbereiche unterteilt (links und rechts von $x = 1$).

2. Aufteilung des Definitionsbereichs

Um eine Division durch Null zu vermeiden, werden zwei separate Mengen von x-Werten erzeugt:

x_left = np.linspace(-4, 0.99, 250)  # Left of x = 1
x_right = np.linspace(1.01, 4, 250)  # Right of x = 1

Die Werte 0.99 und 1.01 stellen sicher, dass $x = 1$ niemals enthalten ist, wodurch Fehler vermieden werden.

3. Darstellung der Funktion

plt.plot(x_left, y_left, color='blue', linewidth=2, label=r"$f(x) = \frac{1}{x - 1}$")
plt.plot(x_right, y_right, color='blue', linewidth=2)

Die Funktion springt bei $x = 1$, daher muss sie in zwei Teilen dargestellt werden.

4. Markierung von Asymptoten und Schnittpunkten

• Vertikale Asymptote ($x = 1$):

plt.axvline(1, color='red', linestyle='--',
            linewidth=1, label="Vertical Asymptote (x=1)")

• Horizontale Asymptote ($y = 0$):

plt.axhline(0, color='green', linestyle='--', 
            linewidth=1, label="Horizontal Asymptote (y=0)")

• Y-Achsenabschnitt bei $x = 0$:

y_intercept = rational_function(0)
plt.scatter(0, y_intercept, color='purple', label="Y-Intercept")

5. Hinzufügen von Richtungspfeilen

Zur Darstellung, dass die Funktion ins Unendliche verläuft:

plt.annotate('', xy=(x_right[-1], y_right[-1]), xytext=(x_right[-2], y_right[-2]), arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='blue', linewidth=1.5))