Summary  
This chapter demonstrates how to define Python functions to model different types of mappings—one-to-one, many-to-one, onto, into, and bijective—between inputs and outputs.  

General domain of usage  
Mathematics

Funktionen definieren Beziehungen zwischen Eingaben und Ausgaben und sind somit grundlegend in Mathematik, Programmierung und Data Science. In Python können verschiedene Arten von Funktionen definiert und visualisiert werden, wie **eineindeutige (one-to-one)**, **mehrdeutige (many-to-one)**, **surjektive (onto)**, **injektive (into)** und **bijektive Funktionen**.

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## Funktionstypen in Python

### Eineindeutige (injektive) Funktion

Eine **eineindeutige Funktion** stellt sicher, dass jede Eingabe auf eine **eindeutige** Ausgabe abgebildet wird. Wie Sie sehen werden, haben keine zwei Eingaben die gleiche Ausgabe.


# One-to-One Function: f(x) = x
def one_to_one(x):
    return x  
    
# Example Outputs
print("One-to-One Function Outputs:")
print(one_to_one(2))    # Output is 2
print(one_to_one(5))    # Output is 5


### Mehrdeutige Funktion
Eine **mehrdeutige Funktion** erlaubt es, dass **mehrere** Eingaben auf denselben **Ausgabewert** abgebildet werden.

# Many-to-One Function: f(x) = x^2
def many_to_one(x):
    return x ** 2  
    
# Example Outputs
print("\nMany-to-One Function Outputs:")
print(many_to_one(3))    # Output is 9  
print(many_to_one(-3))   # Output is also 9 (Same output for different inputs) 

### Auf (Surjektive) Funktion
Eine **auf Funktion** stellt sicher, dass **jedes mögliche Ergebnis im Zielbereich** mindestens **einem** Eingabewert zugeordnet ist.

import numpy as np

# Onto Function: f(x) = tan(x)
def onto(x):
    return np.tan(x)  
    
# Example Outputs
print("\nOnto Function Outputs:")
print(onto(1))    # Output is approximately 1.557
print(onto(-1))   # Output is approximately -2.185


### Injektive Funktion
Eine injektive Funktion bedeutet, dass nicht alle Werte im Zielbereich abgedeckt werden – einige Ausgaben bleiben ungenutzt.

import numpy as np

# Into Function: f(x) = sin(x) (Only outputs between -1 and 1)
def into(x):
    return np.sin(x)  

# Example Outputs
print("\nInto Function Outputs:")
print(into(0))            # Output is approximately 0
print(into(np.pi / 2))    # Output is approximately 1

### Bijektive Funktion (Eineindeutig & Surjektiv)
Eine **bijektive Funktion** ist **sowohl eineindeutig als auch surjektiv**, was bedeutet, dass sie **invertierbar** ist.

# Bijective Function: f(x) = x
def bijective(x):
    return x  
    
# Example Outputs
print("\nBijective Function Outputs:")
print(bijective(3))    # Output is 3
print(bijective(-4))   # Output is -4

Was gibt die folgende Funktion für $$f(4)$$ zurück?


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Implementierung Grundlegender Funktionen in Python

Funktionstypen in Python

Eineindeutige (injektive) Funktion

Mehrdeutige Funktion

Auf (Surjektive) Funktion

Injektive Funktion

Bijektive Funktion (Eineindeutig & Surjektiv)