Typen und Eigenschaften

1. Exponentialfunktion

Form:

• $a$: Amplitude, skaliert die Kurve vertikal;
• $b$: Wachstums- oder Zerfallsrate, bestimmt, wie schnell die Funktion steigt oder fällt;
• $c$: horizontale Verschiebung, verschiebt die Kurve nach links oder rechts;
• $d$: vertikale Verschiebung, verschiebt den Graphen nach oben oder unten.

Eigenschaften:

• Steigt schnell an, wenn $b > 0$;
• Fällt gegen Null, wenn $b < 0$;
• Für alle $x$ stets positiv;
• Verläuft durch den Punkt $(c, a + d)$;
• Definitionsbereich: $(-\infty, \infty)$;
• Wertebereich: $(d, \infty)$ falls $a > 0$, oder $(-\infty, d)$ falls $a < 0$.

Anwendungsbeispiel: Modellierung von Populationswachstum, radioaktivem Zerfall und Zinseszins.

2. Logarithmusfunktion

Form:

• $a$: Amplitude, streckt oder staucht die Kurve vertikal;
• $b$: Basis, bestimmt die Wachstums- oder Zerfallsrate;
• $c$: horizontale Verschiebung, verschiebt den Graphen nach links oder rechts;
• $d$: vertikale Verschiebung, verschiebt den Graphen nach oben oder unten.

Eigenschaften:

• Nur für $x > c$ definiert;
• Steigt langsam, wenn $x$ wächst;
• Geht gegen Minus unendlich nahe $x = c$;
• Verläuft durch den Punkt $(c + 1, d)$;
• Definitionsbereich: $(c, \infty)$;
• Wertebereich: $(-\infty, \infty)$.

Anwendungsbeispiel: Messung von Daten mit multiplikativer Veränderung, wie pH-Wert, Schallintensität oder Erdbebenstärke.

3. Trigonometrische Funktion

Form:

wobei $\text{trig}$ $\sin$, $\cos$ oder $\tan$ sein kann.

• $a$: Amplitude, steuert die Höhe der Welle;
• $b$: Zyklen, definiert, wie viele Schwingungen innerhalb einer Periode auftreten;
• $c$: Horizontale Verschiebung, verschiebt die Welle nach links oder rechts;
• $d$: Vertikale Verschiebung, verschiebt den Graphen nach oben oder unten.

Verhalten:

• Sinus und Kosinus: schwingen periodisch zwischen $-a + d$ und $a + d$;
• Tangens: wiederholt sich alle $\pi$ und besitzt vertikale Asymptoten bei $x = \frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b$;
• Alle sind periodisch und stetig innerhalb ihrer Definitionsbereiche;
• Definitionsbereich und Wertebereich:
  • $\sin(x), \cos(x)$: Definitionsbereich $(-\infty, \infty)$, Wertebereich $[d - a, d + a]$;
  • $\tan(x)$: Definitionsbereich $\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b} \right\}$, Wertebereich $(-\infty, \infty)$.

Anwendungsfall: Modellierung von Zyklen und Schwingungen in der Signalverarbeitung, Physik und Technik.