Summary  
This chapter explains how to implement core matrix operations—addition, subtraction, non-element-wise multiplication via dot product, transposition, and inversion—using NumPy arrays in Python.

General domain of usage  
Scientific computing

## 1. Addition und Subtraktion

Zwei Matrizen $$A$$ und $$B$$ mit gleicher Form können addiert werden:


import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [5, 6]])
B = np.array([[3, 4],
              [7, 8]])

C = A + B  
print(f'C:\n{C}')    # C = [[4, 6], [12, 14]]

## 2. Multiplikationsregeln

Matrizenmultiplikation ist **nicht elementweise**.

Regel: Wenn $$A$$ die Form $$(n, m)$$ und $$B$$ die Form $$(m, l)$$ hat, dann hat das Ergebnis die Form $$(n, l)$$.



import numpy as np

# Example random matrix 3x2
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4],
              [5, 6]])
print(f'A:\n{A}')

# Example random matrix 2x4 
B = np.array([[11, 12, 13, 14],
              [15, 16, 17, 18]])
print(f'B:\n{B}')

# product shape (3, 4)
product = np.dot(A, B)     
print(f'np.dot(A, B):\n{product}')

# or equivalently
product = A @ B
print(f'A @ B:\n{product}')

## 3. Transponieren

Transponieren vertauscht Zeilen und Spalten.

Allgemeine Regel: Ist $$A$$ $$(n \times m)$$, dann ist $$A^T$$ $$(m \times n)$$.

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])

A_T = A.T  # Transpose of A
print(f'A_T:\n{A_T}')

## 4. Inverse einer Matrix

Eine Matrix $$A$$ besitzt eine Inverse $$A^{-1}$$, wenn gilt:

$$
A \cdot A^{-1} = I
$$

Dabei ist $$I$$ die Einheitsmatrix.

Nicht alle Matrizen besitzen eine Inverse. Eine Matrix muss quadratisch und vollen Rangs sein.

import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])

A_inv = np.linalg.inv(A)   # Inverse of A
print(f'A_inv:\n{A_inv}')

I = np.eye(2)              # Identity matrix 2x2
print(f'A x A_inv = I:\n{np.allclose(A @ A_inv, I)}')  # Check if product equals identity

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Matrixoperationen in Python

1. Addition und Subtraktion

2. Multiplikationsregeln

3. Transponieren

4. Inverse einer Matrix