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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lernen Einführung in Matrixtransformationen | Grundlagen der Linearen Algebra
Mathematik für Data Science

bookEinführung in Matrixtransformationen

Matrixgleichungen

Eine Matrixgleichung kann wie folgt geschrieben werden:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Dabei gilt:

  • AA ist die Koeffizientenmatrix;
  • x⃗\vec{x} ist der Variablenvektor;
  • b⃗\vec{b} ist der Konstantenvektor.

Matrixdarstellung linearer Gleichungssysteme

Betrachte das lineare Gleichungssystem:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Dies kann umgeschrieben werden als:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Zerlegung der Matrixmultiplikation

Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor stellt eine Linearkombination dar:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Beispiel für ein Gleichungssystem in Matrixform

Das System:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Lässt sich ausdrücken als:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matrizen als Transformationen

Eine Matrix transformiert Vektoren im Raum.

Beispiel:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Diese Matrix definiert, wie sich die Achsen durch Multiplikation transformieren.

Skalierung mit Matrizen

Zur Anwendung einer Skalierung auf einen Vektor wird verwendet:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Dabei gilt:

  • sxs_x – der Skalierungsfaktor in x-Richtung;
  • sys_y – der Skalierungsfaktor in y-Richtung.

Beispiel: Skalierung des Punktes (2, 3) mit dem Faktor 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Dann gilt:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotation mit Matrizen

Um einen Vektor um den Ursprung um den Winkel θ\theta zu drehen:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Beispiel: (2, 3) um 90° drehen:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Dann gilt:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Spiegelung an der x-Achse

Spiegelungsmatrix:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Mit v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Schertransformation (Scherung in x-Richtung)

Scherung verschiebt eine Achse in Abhängigkeit von der anderen.

Um in x-Richtung zu scheren:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Falls k=1.5k = 1.5 und v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identitätstransformation

Die Einheitsmatrix führt keine Transformation durch:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Für jeden Vektor v⃗\vec{v} gilt:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Wie lautet die Matrixdarstellung dieses Gleichungssystems?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

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Abschnitt 4. Kapitel 5

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Can you show more examples of matrix transformations like rotation or scaling?

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Matrixgleichungen

Eine Matrixgleichung kann wie folgt geschrieben werden:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Dabei gilt:

  • AA ist die Koeffizientenmatrix;
  • x⃗\vec{x} ist der Variablenvektor;
  • b⃗\vec{b} ist der Konstantenvektor.

Matrixdarstellung linearer Gleichungssysteme

Betrachte das lineare Gleichungssystem:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Dies kann umgeschrieben werden als:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Zerlegung der Matrixmultiplikation

Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor stellt eine Linearkombination dar:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Beispiel für ein Gleichungssystem in Matrixform

Das System:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Lässt sich ausdrücken als:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matrizen als Transformationen

Eine Matrix transformiert Vektoren im Raum.

Beispiel:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Diese Matrix definiert, wie sich die Achsen durch Multiplikation transformieren.

Skalierung mit Matrizen

Zur Anwendung einer Skalierung auf einen Vektor wird verwendet:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Dabei gilt:

  • sxs_x – der Skalierungsfaktor in x-Richtung;
  • sys_y – der Skalierungsfaktor in y-Richtung.

Beispiel: Skalierung des Punktes (2, 3) mit dem Faktor 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Dann gilt:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotation mit Matrizen

Um einen Vektor um den Ursprung um den Winkel θ\theta zu drehen:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Beispiel: (2, 3) um 90° drehen:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Dann gilt:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Spiegelung an der x-Achse

Spiegelungsmatrix:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Mit v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Schertransformation (Scherung in x-Richtung)

Scherung verschiebt eine Achse in Abhängigkeit von der anderen.

Um in x-Richtung zu scheren:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Falls k=1.5k = 1.5 und v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identitätstransformation

Die Einheitsmatrix führt keine Transformation durch:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Für jeden Vektor v⃗\vec{v} gilt:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Wie lautet die Matrixdarstellung dieses Gleichungssystems?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

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