Lernen Einführung in Matrixtransformationen | Grundlagen der Linearen Algebra

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Matrixgleichungen

Eine Matrixgleichung kann wie folgt geschrieben werden:

A \vec{x} = \vec{b}

Dabei gilt:

Betrachte das lineare Gleichungssystem:

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Dies kann umgeschrieben werden als:

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor stellt eine Linearkombination dar:

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Das System:

3x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Lässt sich ausdrücken als:

\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Eine Matrix transformiert Vektoren im Raum.

Beispiel:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Diese Matrix definiert, wie sich die Achsen durch Multiplikation transformieren.

Zur Anwendung einer Skalierung auf einen Vektor wird verwendet:

S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Dabei gilt:

Beispiel: Skalierung des Punktes (2, 3) mit dem Faktor 2:

S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Dann gilt:

S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Um einen Vektor um den Ursprung um den Winkel $\theta$ zu drehen:

R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Beispiel: (2, 3) um 90° drehen:

R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Dann gilt:

R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Spiegelungsmatrix:

M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Mit $\vec{v} = (2, 3)$ :

M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Scherung verschiebt eine Achse in Abhängigkeit von der anderen.

Um in x-Richtung zu scheren:

M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Falls $k = 1.5$ und $\vec{v} = (2, 3)$ :

M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Die Einheitsmatrix führt keine Transformation durch:

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Für jeden Vektor $\vec{v}$ gilt:

I \vec{v} = \vec{v}

Wie lautet die Matrixdarstellung dieses Gleichungssystems?

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

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