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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lernen Einführung in Eigenvektoren und Eigenwerte | Grundlagen der Linearen Algebra
Mathematik für Data Science

bookEinführung in Eigenvektoren und Eigenwerte

Note
Definition

Eigenwerte und Eigenvektoren beschreiben, wie eine Matrix Vektoren im Raum transformiert. Ein Eigenvektor ist ein von Null verschiedener Vektor, dessen Richtung bei der Multiplikation mit der Matrix unverändert bleibt. Der zugehörige Eigenwert gibt an, wie stark der Vektor gestreckt oder gestaucht wird.

Was sind Eigenvektoren und Eigenwerte?

Ein Eigenvektor ist ein von Null verschiedener Vektor, der bei Anwendung einer Matrix nur in seiner Länge verändert wird. Der entsprechende skalare Wert, der diese Veränderung beschreibt, ist der Eigenwert.

Av⃗=λv⃗A\vec{v} = \lambda\vec{v}

Dabei gilt:

  • AA ist eine quadratische Matrix;
  • λ\lambda ist der Eigenwert;
  • v⃗\vec{v} ist der Eigenvektor.

Beispielmatrix und Ausgangssituation

Angenommen:

A=[4123]A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}

Es sollen Werte für λ\lambda und Vektoren v⃗\vec{v} gefunden werden, sodass gilt:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Charakteristische Gleichung

Um λ\lambda zu bestimmen, die charakteristische Gleichung lösen:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Einsetzen:

det⁡[4−λ123−λ]=0\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0

Determinante berechnen:

(4−λ)(3−λ)−2=0(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0

Lösen:

λ2−7λ+10=0λ=5,  λ=2\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2

Eigenvektoren bestimmen

Nun für jedes λ\lambda lösen.

Für λ=5\lambda = 5:

Subtrahieren:

(A−5I)v⃗=0(A - 5I)\vec{v} = 0 [−112−2]v⃗=0\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Lösen:

v1=v2v_1 = v_2

Daher:

v⃗=[11]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

Für λ=2\lambda = 2:

Subtrahieren:

(A−2I)v⃗=0(A - 2I)\vec{v} = 0 [2121]v⃗=0\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Lösen:

v1=−12v2v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2

Daher:

v⃗=[−12]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}

Eigenpaar bestätigen

Sobald ein Eigenwert λ\lambda und ein Eigenvektor v⃗\vec{v} vorliegen, überprüfen, ob gilt:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Beispiel:

A[11]=[55]=5[11]A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
Note
Hinweis

Eigenvektoren sind nicht eindeutig.
Ist v⃗\vec{v} ein Eigenvektor, so ist auch jedes skalare Vielfache cv⃗c \vec{v} für c≠0c \neq 0 ein Eigenvektor.

Beispiel:

[22]\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}

ist ebenfalls ein Eigenvektor für λ=5\lambda = 5.

Diagonalisierung (Fortgeschritten)

Wenn eine Matrix AA nn linear unabhängige Eigenvektoren besitzt, kann sie diagonalisiert werden:

A=PDP−1A = PDP^{-1}

Dabei gilt:

  • PP ist die Matrix mit den Eigenvektoren als Spalten;
  • DD ist eine Diagonalmatrix der Eigenwerte;
  • P−1P^{-1} ist die Inverse von PP.

Die Diagonalisierung kann überprüft werden, indem A=PDP−1A = PDP^{-1} kontrolliert wird.
Dies ist nützlich zur Berechnung von Potenzen von AA:

Beispiel

Gegeben sei:

A=[3102]A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

Eigenwerte bestimmen:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Lösen:

λ=3,  λ=2\lambda = 3, \; \lambda = 2

Eigenvektoren bestimmen:

Für λ=3\lambda = 3:

v⃗=[10]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

Für λ=2\lambda = 2:

v⃗=[−11]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}

Konstruktion von P,DP, D und P−1P^{-1}:

P=[1−101],D=[3002],P−1=[1101]P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Berechnung:

PDP−1=[3102]=APDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A

Bestätigt.

Bedeutung:

Zur Berechnung von Potenzen von AA, wie AkA^k. Da DD diagonal ist:

Ak=PDkP−1A^k = P D^k P^{-1}

Dies beschleunigt die Berechnung von Matrixpotenzen erheblich.

Wichtige Hinweise

  • Eigenwerte und Eigenvektoren sind Richtungen, die unter einer Transformation unverändert bleiben;
  • λ\lambda streckt v⃗\vec{v};
  • λ=1\lambda = 1 lässt v⃗\vec{v} im Betrag unverändert.
question mark

Wozu wird die charakteristische Gleichung verwendet?

Select the correct answer

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Wie können wir es verbessern?

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Abschnitt 4. Kapitel 11

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Definition

Eigenwerte und Eigenvektoren beschreiben, wie eine Matrix Vektoren im Raum transformiert. Ein Eigenvektor ist ein von Null verschiedener Vektor, dessen Richtung bei der Multiplikation mit der Matrix unverändert bleibt. Der zugehörige Eigenwert gibt an, wie stark der Vektor gestreckt oder gestaucht wird.

Was sind Eigenvektoren und Eigenwerte?

Ein Eigenvektor ist ein von Null verschiedener Vektor, der bei Anwendung einer Matrix nur in seiner Länge verändert wird. Der entsprechende skalare Wert, der diese Veränderung beschreibt, ist der Eigenwert.

Av⃗=λv⃗A\vec{v} = \lambda\vec{v}

Dabei gilt:

  • AA ist eine quadratische Matrix;
  • λ\lambda ist der Eigenwert;
  • v⃗\vec{v} ist der Eigenvektor.

Beispielmatrix und Ausgangssituation

Angenommen:

A=[4123]A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}

Es sollen Werte für λ\lambda und Vektoren v⃗\vec{v} gefunden werden, sodass gilt:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Charakteristische Gleichung

Um λ\lambda zu bestimmen, die charakteristische Gleichung lösen:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Einsetzen:

det⁡[4−λ123−λ]=0\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0

Determinante berechnen:

(4−λ)(3−λ)−2=0(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0

Lösen:

λ2−7λ+10=0λ=5,  λ=2\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2

Eigenvektoren bestimmen

Nun für jedes λ\lambda lösen.

Für λ=5\lambda = 5:

Subtrahieren:

(A−5I)v⃗=0(A - 5I)\vec{v} = 0 [−112−2]v⃗=0\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Lösen:

v1=v2v_1 = v_2

Daher:

v⃗=[11]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

Für λ=2\lambda = 2:

Subtrahieren:

(A−2I)v⃗=0(A - 2I)\vec{v} = 0 [2121]v⃗=0\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Lösen:

v1=−12v2v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2

Daher:

v⃗=[−12]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}

Eigenpaar bestätigen

Sobald ein Eigenwert λ\lambda und ein Eigenvektor v⃗\vec{v} vorliegen, überprüfen, ob gilt:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Beispiel:

A[11]=[55]=5[11]A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
Note
Hinweis

Eigenvektoren sind nicht eindeutig.
Ist v⃗\vec{v} ein Eigenvektor, so ist auch jedes skalare Vielfache cv⃗c \vec{v} für c≠0c \neq 0 ein Eigenvektor.

Beispiel:

[22]\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}

ist ebenfalls ein Eigenvektor für λ=5\lambda = 5.

Diagonalisierung (Fortgeschritten)

Wenn eine Matrix AA nn linear unabhängige Eigenvektoren besitzt, kann sie diagonalisiert werden:

A=PDP−1A = PDP^{-1}

Dabei gilt:

  • PP ist die Matrix mit den Eigenvektoren als Spalten;
  • DD ist eine Diagonalmatrix der Eigenwerte;
  • P−1P^{-1} ist die Inverse von PP.

Die Diagonalisierung kann überprüft werden, indem A=PDP−1A = PDP^{-1} kontrolliert wird.
Dies ist nützlich zur Berechnung von Potenzen von AA:

Beispiel

Gegeben sei:

A=[3102]A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

Eigenwerte bestimmen:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Lösen:

λ=3,  λ=2\lambda = 3, \; \lambda = 2

Eigenvektoren bestimmen:

Für λ=3\lambda = 3:

v⃗=[10]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

Für λ=2\lambda = 2:

v⃗=[−11]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}

Konstruktion von P,DP, D und P−1P^{-1}:

P=[1−101],D=[3002],P−1=[1101]P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Berechnung:

PDP−1=[3102]=APDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A

Bestätigt.

Bedeutung:

Zur Berechnung von Potenzen von AA, wie AkA^k. Da DD diagonal ist:

Ak=PDkP−1A^k = P D^k P^{-1}

Dies beschleunigt die Berechnung von Matrixpotenzen erheblich.

Wichtige Hinweise

  • Eigenwerte und Eigenvektoren sind Richtungen, die unter einer Transformation unverändert bleiben;
  • λ\lambda streckt v⃗\vec{v};
  • λ=1\lambda = 1 lässt v⃗\vec{v} im Betrag unverändert.
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Wozu wird die charakteristische Gleichung verwendet?

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Danke für Ihr Feedback!

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