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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lernen Einführungen in Vektoren | Grundlagen der Linearen Algebra
Mathematik für Data Science

bookEinführungen in Vektoren

Note
Definition

Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das sowohl Richtung als auch Betrag im Raum darstellt. In der Datenwissenschaft werden Vektoren verwendet, um Datenpunkte, Merkmale und Modellparameter wie Gewichte zu beschreiben.

Was ist ein Vektor?

Ein Vektor ist ein geordnetes Zahlenpaar mit sowohl Betrag als auch Richtung.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Vektoren werden häufig als Pfeile vom Ursprung zu einem Punkt im Raum dargestellt. Zwei Vektoren gelten als gleich, wenn sie die gleiche Richtung und Länge haben, auch wenn sie an unterschiedlichen Orten beginnen.

Der Nullvektor

Der Nullvektor besitzt weder Länge noch Richtung. Er wird wie folgt geschrieben:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Vektoraddition und -subtraktion

Addition

Zur Addition zweier Vektoren werden die jeweiligen Komponenten addiert:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Visualisierungsmöglichkeiten:

  • Spitze-an-Schwanz-Methode: Der Anfang des einen Vektors wird an das Ende des anderen verschoben;
  • Parallelogramm-Methode: Beide Vektoren beginnen am selben Punkt und bilden ein Parallelogramm.

Subtraktion

Um einen Vektor von einem anderen zu subtrahieren:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Das Ergebnis ist ein neuer Vektor, der von der Spitze des zweiten zur Spitze des ersten zeigt.

Skalarmultiplikation

Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (einem Skalar) streckt oder spiegelt den Vektor:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Für k>1k > 1 wird der Vektor in gleicher Richtung gestreckt;
  • Für 0<k<10 < k < 1 wird der Vektor gestaucht;
  • Für k<0k < 0 kehrt sich die Richtung um;
  • Für k=0k = 0 entsteht der Nullvektor.

Vektorlänge (Betrag)

Der Betrag oder die Länge eines Vektors wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Dies ergibt die kürzeste Entfernung vom Ursprung zur Spitze des Vektors.

Das Skalarprodukt

Das Skalarprodukt verbindet zwei Vektoren zu einer einzelnen Zahl, die angibt, wie stark sie ausgerichtet sind:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Ist das Ergebnis positiv: Die Vektoren zeigen in eine ähnliche Richtung;
  • Ist das Ergebnis null: Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander;
  • Ist das Ergebnis negativ: Sie zeigen in entgegengesetzte Richtungen.

Beispiel

Wenn a⃗=(1,2)  and  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{and}\ \ \vec{b} = (3, 4), dann gilt:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
question mark

Wenn a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Dann ist ihr Skalarprodukt:

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Abschnitt 4. Kapitel 1

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Ein Vektor ist ein geordnetes Zahlenpaar mit sowohl Betrag als auch Richtung.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Vektoren werden häufig als Pfeile vom Ursprung zu einem Punkt im Raum dargestellt. Zwei Vektoren gelten als gleich, wenn sie die gleiche Richtung und Länge haben, auch wenn sie an unterschiedlichen Orten beginnen.

Der Nullvektor

Der Nullvektor besitzt weder Länge noch Richtung. Er wird wie folgt geschrieben:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Vektoraddition und -subtraktion

Addition

Zur Addition zweier Vektoren werden die jeweiligen Komponenten addiert:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Visualisierungsmöglichkeiten:

  • Spitze-an-Schwanz-Methode: Der Anfang des einen Vektors wird an das Ende des anderen verschoben;
  • Parallelogramm-Methode: Beide Vektoren beginnen am selben Punkt und bilden ein Parallelogramm.

Subtraktion

Um einen Vektor von einem anderen zu subtrahieren:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Das Ergebnis ist ein neuer Vektor, der von der Spitze des zweiten zur Spitze des ersten zeigt.

Skalarmultiplikation

Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (einem Skalar) streckt oder spiegelt den Vektor:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Für k>1k > 1 wird der Vektor in gleicher Richtung gestreckt;
  • Für 0<k<10 < k < 1 wird der Vektor gestaucht;
  • Für k<0k < 0 kehrt sich die Richtung um;
  • Für k=0k = 0 entsteht der Nullvektor.

Vektorlänge (Betrag)

Der Betrag oder die Länge eines Vektors wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Dies ergibt die kürzeste Entfernung vom Ursprung zur Spitze des Vektors.

Das Skalarprodukt

Das Skalarprodukt verbindet zwei Vektoren zu einer einzelnen Zahl, die angibt, wie stark sie ausgerichtet sind:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Ist das Ergebnis positiv: Die Vektoren zeigen in eine ähnliche Richtung;
  • Ist das Ergebnis null: Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander;
  • Ist das Ergebnis negativ: Sie zeigen in entgegengesetzte Richtungen.

Beispiel

Wenn a⃗=(1,2)  and  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{and}\ \ \vec{b} = (3, 4), dann gilt:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
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Wenn a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Dann ist ihr Skalarprodukt:

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