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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lernen Matrixoperationen | Grundlagen der Linearen Algebra
Mathematik für Data Science

bookMatrixoperationen

Note
Definition

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenarray, das in Zeilen und Spalten angeordnet ist und zur effizienten Darstellung und Lösung mathematischer Probleme verwendet wird.

Bevor lineare Gleichungssysteme wie Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b} betrachtet werden, ist es wichtig zu verstehen, wie Matrizen funktionieren und welche Operationen auf ihnen durchgeführt werden können.

Matrixaddition

Zwei Matrizen können nur addiert werden, wenn sie die gleiche Form (gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten) haben.

Seien:

A=[a11a12a21a22],B=[b11b12b21b22]A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Dann gilt:

A+B=[a11+b11a12+b12a21+b21a22+b22]A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Skalarmultiplikation

Eine Matrix kann auch mit einem Skalar (einer einzelnen Zahl) multipliziert werden:

k⋅A=[ka11ka12ka21ka22]k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Matrixmultiplikation und Größenkompatibilität

Die Matrixmultiplikation ist eine Zeilen-mal-Spalten-Operation, nicht elementweise.

Regel: Ist Matrix AA von der Form (m×n)(m \times n) und Matrix BB von der Form (n×p)(n \times p), dann gilt:

  • Die Multiplikation ABAB ist definiert;
  • Das Ergebnis ist eine Matrix der Form (m×p)(m \times p).

Beispiel:

Sei:

A=[1234],  B=[56]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

AA ist (2×2)(2 \times 2) und BB ist (2×1)(2 \times 1), daher ist ABAB definiert und ergibt eine (2×1)(2 \times 1)-Matrix:

A⋅B=[1⋅5+2⋅63⋅5+4⋅6]=[1739]A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Transponierte einer Matrix

Die Transponierte einer Matrix vertauscht Zeilen und Spalten. Sie wird als ATA^T bezeichnet.

Sei:

A=[1234]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Dann gilt:

AT=[1324]A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Eigenschaften:

  • (AT)T=A(A^T)^T = A;
  • (A+B)T=AT+BT(A + B)^T = A^T + B^T;
  • (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T.

Determinante einer Matrix

2×2 Matrix

Für:

A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Die Determinante ist:

det⁡(A)=ad−bc\det(A) = ad - bc

3×3 Matrix

Für:

A=[abcdefghi]A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Die Determinante ist:

det⁡(A)=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Diese Methode wird als Kofaktorentwicklung bezeichnet.

  • Größere Matrizen (4×4 und größer) können rekursiv entwickelt werden.
  • Die Determinante ist nützlich, da sie angibt, ob eine Matrix eine Inverse besitzt (Determinante ungleich null).

Inverse einer Matrix

Die Inverse einer quadratischen Matrix AA wird als A−1A^{-1} bezeichnet. Sie erfüllt A⋅A−1=IA \cdot A^{-1} = I, wobei II die Einheitsmatrix ist.

Nur quadratische Matrizen mit einer von null verschiedenen Determinante besitzen eine Inverse.

Beispiel:

Wenn Matrix A ist:

A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Dann ist die inverse Matrix A−1A^{-1}:

A−1=1det⁡(A)[d−b−ca]A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Wobei det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0.

question mark

Was ist die Transponierte der Matrix [1234]\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}?

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Wie können wir es verbessern?

Danke für Ihr Feedback!

Abschnitt 4. Kapitel 3

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Definition

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenarray, das in Zeilen und Spalten angeordnet ist und zur effizienten Darstellung und Lösung mathematischer Probleme verwendet wird.

Bevor lineare Gleichungssysteme wie Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b} betrachtet werden, ist es wichtig zu verstehen, wie Matrizen funktionieren und welche Operationen auf ihnen durchgeführt werden können.

Matrixaddition

Zwei Matrizen können nur addiert werden, wenn sie die gleiche Form (gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten) haben.

Seien:

A=[a11a12a21a22],B=[b11b12b21b22]A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Dann gilt:

A+B=[a11+b11a12+b12a21+b21a22+b22]A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Skalarmultiplikation

Eine Matrix kann auch mit einem Skalar (einer einzelnen Zahl) multipliziert werden:

k⋅A=[ka11ka12ka21ka22]k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Matrixmultiplikation und Größenkompatibilität

Die Matrixmultiplikation ist eine Zeilen-mal-Spalten-Operation, nicht elementweise.

Regel: Ist Matrix AA von der Form (m×n)(m \times n) und Matrix BB von der Form (n×p)(n \times p), dann gilt:

  • Die Multiplikation ABAB ist definiert;
  • Das Ergebnis ist eine Matrix der Form (m×p)(m \times p).

Beispiel:

Sei:

A=[1234],  B=[56]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

AA ist (2×2)(2 \times 2) und BB ist (2×1)(2 \times 1), daher ist ABAB definiert und ergibt eine (2×1)(2 \times 1)-Matrix:

A⋅B=[1⋅5+2⋅63⋅5+4⋅6]=[1739]A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Transponierte einer Matrix

Die Transponierte einer Matrix vertauscht Zeilen und Spalten. Sie wird als ATA^T bezeichnet.

Sei:

A=[1234]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Dann gilt:

AT=[1324]A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Eigenschaften:

  • (AT)T=A(A^T)^T = A;
  • (A+B)T=AT+BT(A + B)^T = A^T + B^T;
  • (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T.

Determinante einer Matrix

2×2 Matrix

Für:

A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Die Determinante ist:

det⁡(A)=ad−bc\det(A) = ad - bc

3×3 Matrix

Für:

A=[abcdefghi]A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Die Determinante ist:

det⁡(A)=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Diese Methode wird als Kofaktorentwicklung bezeichnet.

  • Größere Matrizen (4×4 und größer) können rekursiv entwickelt werden.
  • Die Determinante ist nützlich, da sie angibt, ob eine Matrix eine Inverse besitzt (Determinante ungleich null).

Inverse einer Matrix

Die Inverse einer quadratischen Matrix AA wird als A−1A^{-1} bezeichnet. Sie erfüllt A⋅A−1=IA \cdot A^{-1} = I, wobei II die Einheitsmatrix ist.

Nur quadratische Matrizen mit einer von null verschiedenen Determinante besitzen eine Inverse.

Beispiel:

Wenn Matrix A ist:

A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Dann ist die inverse Matrix A−1A^{-1}:

A−1=1det⁡(A)[d−b−ca]A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Wobei det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0.

question mark

Was ist die Transponierte der Matrix [1234]\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}?

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