Summary  
This chapter demonstrates how to decompose a matrix into lower and upper triangular factors (LU) and into orthogonal and upper triangular factors (QR) using Python libraries, then verifies each decomposition by reconstructing the original matrix.

General domain of usage  
Numerical linear algebra

Matrixzerlegungstechniken sind grundlegende Werkzeuge der numerischen linearen Algebra und ermöglichen Lösungen für Gleichungssysteme, Stabilitätsanalysen und Matrixinversionen.

## Durchführung der LU-Zerlegung

**LU-Zerlegung** teilt eine Matrix in:

* `L`: untere Dreiecksmatrix;
* `U`: obere Dreiecksmatrix;
* `P`: Permutationsmatrix zur Berücksichtigung von Zeilenvertauschungen.

import numpy as np
from scipy.linalg import lu

# Define a 2x2 matrix A
A = np.array([[6, 3],
              [4, 3]])

# Perform LU decomposition: P, L, U such that P @ A = L @ U
P, L, U = lu(A)

# Verify that P @ A equals L @ U by reconstructing A from L and U
print(f'L * U:\n{np.dot(L, U)}')

**Warum das wichtig ist**: Die LU-Zerlegung wird in numerischen Methoden häufig verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen und Matrizen effizient zu invertieren.

## Durchführung der QR-Zerlegung

Die QR-Zerlegung zerlegt eine Matrix in:

* `Q`: Orthogonale Matrix (erhält Winkel/Längen);
* `R`: Obere Dreiecksmatrix.

import numpy as np
from scipy.linalg import qr

# Define a 2x2 matrix A
A = np.array([[4, 3],
              [6, 3]])

# Perform QR decomposition: Q (orthogonal), R (upper triangular)
Q, R = qr(A)

# Verify that Q @ R equals A by reconstructing A from Q and R
print(f'Q * R:\n{np.dot(Q, R)}')

**Warum das wichtig ist**: QR wird häufig zur Lösung von Ausgleichsproblemen verwendet und ist in einigen Szenarien numerisch stabiler als LU.

Welche Rolle spielt die Permutationsmatrix `P` in der **LU-Zerlegung**?

Angenommen, Sie müssen das System $$A·x = b$$ mit der **QR-Zerlegung** lösen. Welche Codeanpassung wäre erforderlich?

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Implementierung der Matrixzerlegung in Python

Durchführung der LU-Zerlegung

Durchführung der QR-Zerlegung

1. Welche Rolle spielt die Permutationsmatrix `P` in der LU-Zerlegung?

2. Angenommen, Sie müssen das System $A·x = b$ mit der QR-Zerlegung lösen. Welche Codeanpassung wäre erforderlich?

Implementierung der Matrixzerlegung in Python

Durchführung der LU-Zerlegung

Durchführung der QR-Zerlegung

1. Welche Rolle spielt die Permutationsmatrix P in der LU-Zerlegung?

2. Angenommen, Sie müssen das System A⋅x=bA·x = bA⋅x=b mit der QR-Zerlegung lösen. Welche Codeanpassung wäre erforderlich?

1. Welche Rolle spielt die Permutationsmatrix `P` in der LU-Zerlegung?

2. Angenommen, Sie müssen das System $A·x = b$ mit der QR-Zerlegung lösen. Welche Codeanpassung wäre erforderlich?