Implementierung der Matrixzerlegung in Python
Matrixzerlegungstechniken sind grundlegende Werkzeuge der numerischen linearen Algebra und ermöglichen Lösungen für Gleichungssysteme, Stabilitätsanalysen und Matrixinversionen.
Durchführung der LU-Zerlegung
LU-Zerlegung teilt eine Matrix in:
L: untere Dreiecksmatrix;U: obere Dreiecksmatrix;P: Permutationsmatrix zur Berücksichtigung von Zeilenvertauschungen.
123456789101112import numpy as np from scipy.linalg import lu # Define a 2x2 matrix A A = np.array([[6, 3], [4, 3]]) # Perform LU decomposition: P, L, U such that P @ A = L @ U P, L, U = lu(A) # Verify that P @ A equals L @ U by reconstructing A from L and U print(f'L * U:\n{np.dot(L, U)}')
Warum das wichtig ist: Die LU-Zerlegung wird in numerischen Methoden häufig verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen und Matrizen effizient zu invertieren.
Durchführung der QR-Zerlegung
Die QR-Zerlegung zerlegt eine Matrix in:
Q: Orthogonale Matrix (erhält Winkel/Längen);R: Obere Dreiecksmatrix.
123456789101112import numpy as np from scipy.linalg import qr # Define a 2x2 matrix A A = np.array([[4, 3], [6, 3]]) # Perform QR decomposition: Q (orthogonal), R (upper triangular) Q, R = qr(A) # Verify that Q @ R equals A by reconstructing A from Q and R print(f'Q * R:\n{np.dot(Q, R)}')
Warum das wichtig ist: QR wird häufig zur Lösung von Ausgleichsproblemen verwendet und ist in einigen Szenarien numerisch stabiler als LU.
1. Welche Rolle spielt die Permutationsmatrix P in der LU-Zerlegung?
2. Angenommen, Sie müssen das System A⋅x=b mit der QR-Zerlegung lösen. Welche Codeanpassung wäre erforderlich?
Danke für Ihr Feedback!
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Can you explain the difference between LU and QR decomposition?
What are some practical applications of these decompositions?
Can you walk me through the steps of LU or QR decomposition with a specific example?
Awesome!
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LU-Zerlegung teilt eine Matrix in:
L: untere Dreiecksmatrix;U: obere Dreiecksmatrix;P: Permutationsmatrix zur Berücksichtigung von Zeilenvertauschungen.
123456789101112import numpy as np from scipy.linalg import lu # Define a 2x2 matrix A A = np.array([[6, 3], [4, 3]]) # Perform LU decomposition: P, L, U such that P @ A = L @ U P, L, U = lu(A) # Verify that P @ A equals L @ U by reconstructing A from L and U print(f'L * U:\n{np.dot(L, U)}')
Warum das wichtig ist: Die LU-Zerlegung wird in numerischen Methoden häufig verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen und Matrizen effizient zu invertieren.
Durchführung der QR-Zerlegung
Die QR-Zerlegung zerlegt eine Matrix in:
Q: Orthogonale Matrix (erhält Winkel/Längen);R: Obere Dreiecksmatrix.
123456789101112import numpy as np from scipy.linalg import qr # Define a 2x2 matrix A A = np.array([[4, 3], [6, 3]]) # Perform QR decomposition: Q (orthogonal), R (upper triangular) Q, R = qr(A) # Verify that Q @ R equals A by reconstructing A from Q and R print(f'Q * R:\n{np.dot(Q, R)}')
Warum das wichtig ist: QR wird häufig zur Lösung von Ausgleichsproblemen verwendet und ist in einigen Szenarien numerisch stabiler als LU.
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