Lernen Implementierung von Vektoren in Python | Grundlagen der Linearen Algebra

Definition von Vektoren in Python

In Python verwenden wir NumPy-Arrays, um 2D-Vektoren wie folgt zu definieren:


              1234567
            
import numpy as np

v1 = np.array([2, 1])
v2 = np.array([1, 3])

print(f'v1 = {v1}')
print(f'v2 = {v2}')

Diese repräsentieren die Vektoren:

\vec{v}_1 = (2, 1), \quad \vec{v}_2 = (1, 3)

Diese können nun addiert, subtrahiert oder für Skalarprodukt- und Betragsberechnungen verwendet werden.

Vektoraddition

Zur Berechnung der Vektoraddition:


              1234567
            
import numpy as np

v1 = np.array([2, 1])
v2 = np.array([1, 3])

v3 = v1 + v2
print(f'v3 = v1 + v2 = {v3}')

Dies ergibt:

(2, 1) + (1, 3) = (3, 4)

Dies entspricht der Regel für die Vektoraddition:

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Vektorlänge (Betrag)

Berechnung des Betrags in Python:

np.linalg.norm(v)

Für den Vektor [3, 4]:


              123
            
import numpy as np

print(np.linalg.norm([3, 4]))  # 5.0

Dies verwendet die Formel:

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Skalarprodukt

Zur Berechnung des Skalarprodukts:


              123
            
import numpy as np

print(np.dot([1, 2], [2, 3]))

Dies ergibt:

[1, 2] \cdot [2, 3] = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 8

Allgemeine Regel für das Skalarprodukt:

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

Visualisierung von Vektoren mit Matplotlib

Mit der Funktion quiver() in Matplotlib lassen sich Pfeile zeichnen, die Vektoren und deren Resultierende darstellen. Jeder Pfeil zeigt die Position, Richtung und Länge eines Vektors an.

Blau: $\vec{v}_1$ , vom Ursprung aus gezeichnet;
Grün: $\vec{v}_2$ , beginnend am Endpunkt von $\vec{v}_1$ ;
Rot: Resultierender Vektor, vom Ursprung bis zur finalen Spitze gezeichnet.

Beispiel:


              123456789101112131415161718
            
import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots()

# v1
ax.quiver(0, 0, 2, 1, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

# v2 (head-to-tail)
ax.quiver(2, 1, 1, 3, color='green', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

# resultant
ax.quiver(0, 0, 3, 4, color='red', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

plt.xlim(0, 5)
plt.ylim(0, 5)
plt.grid(True)
plt.title('Vector Addition (Head-to-Tail Method)')
plt.show()

Parameter (basierend auf dem ersten quiver-Aufruf):

ax.quiver(0, 0, 2, 1, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

0, 0 – Startpunkt des Vektors (Ursprung);
2, 1 – Vektorkomponenten in x- und y-Richtung;
color='blue' – setzt die Pfeilfarbe auf Blau;
angles='xy' – zeichnet den Pfeil im kartesischen Koordinatensystem (x–y-Ebene);
scale_units='xy' – skaliert den Pfeil entsprechend den Achsen-Einheiten;
scale=1 – behält die tatsächliche Länge des Pfeils bei (keine automatische Skalierung).

Diese Grafik zeigt die Vektoraddition nach der Pfeil-an-Kopf-Methode, wobei der rote Vektor die Summe $\vec{v}_1 + \vec{v}_2$ darstellt.

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Danke für Ihr Feedback!

Abschnitt 4. Kapitel 2

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Definition von Vektoren in Python

In Python verwenden wir NumPy-Arrays, um 2D-Vektoren wie folgt zu definieren:


              1234567
            
import numpy as np

v1 = np.array([2, 1])
v2 = np.array([1, 3])

print(f'v1 = {v1}')
print(f'v2 = {v2}')

Diese repräsentieren die Vektoren:

\vec{v}_1 = (2, 1), \quad \vec{v}_2 = (1, 3)

Diese können nun addiert, subtrahiert oder für Skalarprodukt- und Betragsberechnungen verwendet werden.

Vektoraddition

Zur Berechnung der Vektoraddition:


              1234567
            
import numpy as np

v1 = np.array([2, 1])
v2 = np.array([1, 3])

v3 = v1 + v2
print(f'v3 = v1 + v2 = {v3}')

Dies ergibt:

(2, 1) + (1, 3) = (3, 4)

Dies entspricht der Regel für die Vektoraddition:

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Vektorlänge (Betrag)

Berechnung des Betrags in Python:

np.linalg.norm(v)

Für den Vektor [3, 4]:


              123
            
import numpy as np

print(np.linalg.norm([3, 4]))  # 5.0

Dies verwendet die Formel:

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Skalarprodukt

Zur Berechnung des Skalarprodukts:


              123
            
import numpy as np

print(np.dot([1, 2], [2, 3]))

Dies ergibt:

[1, 2] \cdot [2, 3] = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 8

Allgemeine Regel für das Skalarprodukt:

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

Visualisierung von Vektoren mit Matplotlib

Mit der Funktion quiver() in Matplotlib lassen sich Pfeile zeichnen, die Vektoren und deren Resultierende darstellen. Jeder Pfeil zeigt die Position, Richtung und Länge eines Vektors an.

Blau: $\vec{v}_1$ , vom Ursprung aus gezeichnet;
Grün: $\vec{v}_2$ , beginnend am Endpunkt von $\vec{v}_1$ ;
Rot: Resultierender Vektor, vom Ursprung bis zur finalen Spitze gezeichnet.

Beispiel:


              123456789101112131415161718
            
import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots()

# v1
ax.quiver(0, 0, 2, 1, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

# v2 (head-to-tail)
ax.quiver(2, 1, 1, 3, color='green', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

# resultant
ax.quiver(0, 0, 3, 4, color='red', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

plt.xlim(0, 5)
plt.ylim(0, 5)
plt.grid(True)
plt.title('Vector Addition (Head-to-Tail Method)')
plt.show()

Parameter (basierend auf dem ersten quiver-Aufruf):

ax.quiver(0, 0, 2, 1, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

0, 0 – Startpunkt des Vektors (Ursprung);
2, 1 – Vektorkomponenten in x- und y-Richtung;
color='blue' – setzt die Pfeilfarbe auf Blau;
angles='xy' – zeichnet den Pfeil im kartesischen Koordinatensystem (x–y-Ebene);
scale_units='xy' – skaliert den Pfeil entsprechend den Achsen-Einheiten;
scale=1 – behält die tatsächliche Länge des Pfeils bei (keine automatische Skalierung).

Diese Grafik zeigt die Vektoraddition nach der Pfeil-an-Kopf-Methode, wobei der rote Vektor die Summe $\vec{v}_1 + \vec{v}_2$ darstellt.

War alles klar?

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