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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lernen Einführungen in Partielle Ableitungen | Mathematische Analysis
Mathematik für Data Science

bookEinführungen in Partielle Ableitungen

Note
Definition

Eine partielle Ableitung misst, wie sich eine Funktion mit mehreren Variablen in Bezug auf eine Variable verändert, während alle anderen Variablen konstant gehalten werden. Sie erfasst die Änderungsrate entlang einer einzelnen Dimension innerhalb eines multivariaten Systems.

Was sind partielle Ableitungen?

Eine partielle Ableitung wird mit dem Symbol ∂\partial anstelle von dd für gewöhnliche Ableitungen geschrieben. Wenn eine Funktion f(x,y)f(x,y) sowohl von xx als auch von yy abhängt, berechnen wir:

∂f∂xlim⁡h→0f(x+h,y)−f(x,y)h∂f∂ylim⁡h→0f(x,y+h)−f(x,y)h\frac{\partial f}{\partial x} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h, y) - f(x,y)}{h} \\[6pt] \frac{\partial f}{\partial y} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x, y + h) - f(x,y)}{h}
Note
Hinweis

Bei der Ableitung nach einer Variablen werden alle anderen Variablen als Konstanten behandelt.

Berechnung partieller Ableitungen

Betrachten Sie die Funktion:

f(x,y)=x2y+3y2f(x,y) = x^2y + 3y^2

Bestimmen wir ∂f∂x\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial x$}}:

∂f∂x=2xy\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy
  • Ableiten nach xx, wobei yy als Konstante behandelt wird.

Berechnen wir nun ∂f∂y\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial y$}}:

∂f∂y=x2+6y\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6y
  • Ableiten nach yy, wobei xx als Konstante behandelt wird.
question mark

Betrachten Sie die Funktion:

f(x,y)=4x3y+5y2f(x,y) = 4x^3y + 5y^2

Berechnen Sie nun die partielle Ableitung nach yy.

Select the correct answer

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Wie können wir es verbessern?

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Abschnitt 3. Kapitel 7

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Suggested prompts:

Can you explain why we treat other variables as constants when taking a partial derivative?

Can you show another example with three variables?

What are some real-world applications of partial derivatives?

Awesome!

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Eine partielle Ableitung misst, wie sich eine Funktion mit mehreren Variablen in Bezug auf eine Variable verändert, während alle anderen Variablen konstant gehalten werden. Sie erfasst die Änderungsrate entlang einer einzelnen Dimension innerhalb eines multivariaten Systems.

Was sind partielle Ableitungen?

Eine partielle Ableitung wird mit dem Symbol ∂\partial anstelle von dd für gewöhnliche Ableitungen geschrieben. Wenn eine Funktion f(x,y)f(x,y) sowohl von xx als auch von yy abhängt, berechnen wir:

∂f∂xlim⁡h→0f(x+h,y)−f(x,y)h∂f∂ylim⁡h→0f(x,y+h)−f(x,y)h\frac{\partial f}{\partial x} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h, y) - f(x,y)}{h} \\[6pt] \frac{\partial f}{\partial y} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x, y + h) - f(x,y)}{h}
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Bei der Ableitung nach einer Variablen werden alle anderen Variablen als Konstanten behandelt.

Berechnung partieller Ableitungen

Betrachten Sie die Funktion:

f(x,y)=x2y+3y2f(x,y) = x^2y + 3y^2

Bestimmen wir ∂f∂x\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial x$}}:

∂f∂x=2xy\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy
  • Ableiten nach xx, wobei yy als Konstante behandelt wird.

Berechnen wir nun ∂f∂y\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial y$}}:

∂f∂y=x2+6y\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6y
  • Ableiten nach yy, wobei xx als Konstante behandelt wird.
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Betrachten Sie die Funktion:

f(x,y)=4x3y+5y2f(x,y) = 4x^3y + 5y^2

Berechnen Sie nun die partielle Ableitung nach yy.

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