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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lernen Einführung in Integrale | Mathematische Analysis
Mathematik für Data Science

bookEinführung in Integrale

Note
Definition

Integration ist ein grundlegendes Konzept der Analysis, das die gesamte Akkumulation einer Größe darstellt, wie zum Beispiel die Fläche unter einer Kurve. Sie ist in der Datenwissenschaft unerlässlich für die Berechnung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, kumulierten Werten und Optimierungsaufgaben.

Grundlegendes Integral

Das grundlegende Integral einer Potenzfunktion folgt dieser Regel:

∫Cxndx=C(xn+1n+1)+C\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Dabei gilt:

  • CC ist eine Konstante;
  • n≠−1n \neq -1;
  • ...+C...+C steht für eine beliebige Integrationskonstante.

Wichtige Idee: Wenn die Ableitung die Potenz von xx verringert, erhöht die Integration sie.

Gängige Integrationsregeln

Potenzregel für Integrale

Diese Regel hilft bei der Integration jeder Polynomfunktion:

∫xndx=xn+1n+1+C, n≠−1\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

Beispielsweise, wenn n=2n = 2:

∫x2dx=x33+C\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Exponentialregel

Das Integral der Exponentialfunktion exe^x ist einzigartig, da es nach der Integration unverändert bleibt:

∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C

Wenn jedoch der Exponent einen Koeffizienten enthält, wird eine andere Regel angewendet:

∫eaxdx=1aeax+C, a≠0\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0

Beispielsweise, wenn a=2a = 2:

∫e2xdx=e2x2+C\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Trigonometrische Integrale

Sinus- und Kosinusfunktionen folgen ebenfalls einfachen Integrationsregeln:

∫sin(x)dx=−cos(x)+C∫cos(x)dx=sin(x)+C\int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \int cos(x) dx = sin(x) + C

Bestimmte Integrale

Im Gegensatz zu unbestimmten Integralen, die eine beliebige Konstante CC enthalten, berechnen bestimmte Integrale eine Funktion zwischen zwei Grenzen aa und bb:

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Dabei ist F(x)F(x) die Stammfunktion von f(x)f(x).

Beispielsweise, wenn f(x)=2xf(x) = 2x, a=0a = 0 und b=2b = 2:

∫022x dx=[x2]=4−0=4\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Das bedeutet, die Fläche unter der Kurve y=2xy = 2x von x=0x=0 bis x=2x=2 beträgt 44.

question mark

Berechnen Sie das Integral:

∫3x2dx\int 3x^2 dx

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Abschnitt 3. Kapitel 5

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Can you show more examples of integrating trigonometric or exponential functions?

How do I know when to use the power rule versus other integration rules?

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Definition

Integration ist ein grundlegendes Konzept der Analysis, das die gesamte Akkumulation einer Größe darstellt, wie zum Beispiel die Fläche unter einer Kurve. Sie ist in der Datenwissenschaft unerlässlich für die Berechnung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, kumulierten Werten und Optimierungsaufgaben.

Grundlegendes Integral

Das grundlegende Integral einer Potenzfunktion folgt dieser Regel:

∫Cxndx=C(xn+1n+1)+C\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Dabei gilt:

  • CC ist eine Konstante;
  • n≠−1n \neq -1;
  • ...+C...+C steht für eine beliebige Integrationskonstante.

Wichtige Idee: Wenn die Ableitung die Potenz von xx verringert, erhöht die Integration sie.

Gängige Integrationsregeln

Potenzregel für Integrale

Diese Regel hilft bei der Integration jeder Polynomfunktion:

∫xndx=xn+1n+1+C, n≠−1\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

Beispielsweise, wenn n=2n = 2:

∫x2dx=x33+C\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Exponentialregel

Das Integral der Exponentialfunktion exe^x ist einzigartig, da es nach der Integration unverändert bleibt:

∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C

Wenn jedoch der Exponent einen Koeffizienten enthält, wird eine andere Regel angewendet:

∫eaxdx=1aeax+C, a≠0\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0

Beispielsweise, wenn a=2a = 2:

∫e2xdx=e2x2+C\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Trigonometrische Integrale

Sinus- und Kosinusfunktionen folgen ebenfalls einfachen Integrationsregeln:

∫sin(x)dx=−cos(x)+C∫cos(x)dx=sin(x)+C\int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \int cos(x) dx = sin(x) + C

Bestimmte Integrale

Im Gegensatz zu unbestimmten Integralen, die eine beliebige Konstante CC enthalten, berechnen bestimmte Integrale eine Funktion zwischen zwei Grenzen aa und bb:

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Dabei ist F(x)F(x) die Stammfunktion von f(x)f(x).

Beispielsweise, wenn f(x)=2xf(x) = 2x, a=0a = 0 und b=2b = 2:

∫022x dx=[x2]=4−0=4\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Das bedeutet, die Fläche unter der Kurve y=2xy = 2x von x=0x=0 bis x=2x=2 beträgt 44.

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Berechnen Sie das Integral:

∫3x2dx\int 3x^2 dx

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