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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lernen Einführung in Grenzwerte | Mathematische Analysis
Mathematik für Data Science

bookEinführung in Grenzwerte

Note
Definition

Ein Grenzwert ist ein grundlegendes Konzept der Analysis, das den Wert beschreibt, dem sich eine Funktion nähert, wenn ihr Argument einen bestimmten Punkt annähert. Grenzwerte bilden die Grundlage für die Definition von Ableitungen und Integralen und sind daher essenziell in der mathematischen Analyse und der Optimierung im maschinellen Lernen.

Formale Definition & Notation

Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, wenn das Argument beliebig nahe an einen Punkt heranrückt.

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \rarr a}f(x) = L

Das bedeutet, dass xx beliebig nahe an aa heranrückt, wobei f(x)f(x) gegen LL strebt.

Note
Hinweis

Die Funktion muss bei x=ax=a nicht definiert sein, damit der Grenzwert existiert.

Einseitige & Zweiseitige Grenzwerte

Ein Grenzwert kann von beiden Seiten angenähert werden:

  • Linksseitiger Grenzwert: Annäherung an aa von Werten kleiner als aa:
lim⁡x→a−f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x)
  • Rechtsseitiger Grenzwert: Annäherung an aa von Werten größer als aa:
lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Der Grenzwert existiert nur, wenn beide einseitigen Grenzwerte gleich sind:
lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) = \lim_{x \rarr a^+}f(x)

Wann Grenzwerte nicht existieren

Ein Grenzwert existiert nicht in folgenden Fällen:

  • Sprungstelle:
lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) \neq \lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Beispiel: Eine Treppenfunktion, bei der die linken und rechten Grenzwerte unterschiedlich sind.
  • Unendlicher Grenzwert:
lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \rarr 0}\frac{1}{x^2}=\infty
  • Die Funktion wächst unbegrenzt.
  • Oszillation:
lim⁡x→0sin⁡(1x)\lim_{x \rarr 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)
  • Die Funktion schwankt unendlich, ohne sich auf einen bestimmten Wert einzupendeln.

Spezialfall – Grenzwerte im Unendlichen

Wenn xx gegen Unendlich strebt, wird das Verhalten im Unendlichen von Funktionen analysiert:

  • Rationale Funktionen:
lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \rarr \infty}\frac{1}{x}=0
  • Polynomielles Wachstum:
lim⁡x→∞x2x=∞\lim_{x \rarr \infty}\frac{x^2}{x}=\infty
  • Dominanzregel:
lim⁡x→∞axmbxn={0, if m<n,ab, if m=n,±∞, if m>n.\lim_{x \to \infty} \frac{a x^m}{b x^n} = \begin{cases} 0,\ \text{if } m < n,\\ \frac{a}{b},\ \text{if } m = n, \\ \pm \infty,\ \text{if } m > n. \end{cases}
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Welche Aussage beschreibt korrekt, wann ein Grenzwert existiert?

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Abschnitt 3. Kapitel 1

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What are some common techniques for evaluating limits?

Can you give examples of when a limit does not exist?

Awesome!

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Definition

Ein Grenzwert ist ein grundlegendes Konzept der Analysis, das den Wert beschreibt, dem sich eine Funktion nähert, wenn ihr Argument einen bestimmten Punkt annähert. Grenzwerte bilden die Grundlage für die Definition von Ableitungen und Integralen und sind daher essenziell in der mathematischen Analyse und der Optimierung im maschinellen Lernen.

Formale Definition & Notation

Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, wenn das Argument beliebig nahe an einen Punkt heranrückt.

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \rarr a}f(x) = L

Das bedeutet, dass xx beliebig nahe an aa heranrückt, wobei f(x)f(x) gegen LL strebt.

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Hinweis

Die Funktion muss bei x=ax=a nicht definiert sein, damit der Grenzwert existiert.

Einseitige & Zweiseitige Grenzwerte

Ein Grenzwert kann von beiden Seiten angenähert werden:

  • Linksseitiger Grenzwert: Annäherung an aa von Werten kleiner als aa:
lim⁡x→a−f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x)
  • Rechtsseitiger Grenzwert: Annäherung an aa von Werten größer als aa:
lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Der Grenzwert existiert nur, wenn beide einseitigen Grenzwerte gleich sind:
lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) = \lim_{x \rarr a^+}f(x)

Wann Grenzwerte nicht existieren

Ein Grenzwert existiert nicht in folgenden Fällen:

  • Sprungstelle:
lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) \neq \lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Beispiel: Eine Treppenfunktion, bei der die linken und rechten Grenzwerte unterschiedlich sind.
  • Unendlicher Grenzwert:
lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \rarr 0}\frac{1}{x^2}=\infty
  • Die Funktion wächst unbegrenzt.
  • Oszillation:
lim⁡x→0sin⁡(1x)\lim_{x \rarr 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)
  • Die Funktion schwankt unendlich, ohne sich auf einen bestimmten Wert einzupendeln.

Spezialfall – Grenzwerte im Unendlichen

Wenn xx gegen Unendlich strebt, wird das Verhalten im Unendlichen von Funktionen analysiert:

  • Rationale Funktionen:
lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \rarr \infty}\frac{1}{x}=0
  • Polynomielles Wachstum:
lim⁡x→∞x2x=∞\lim_{x \rarr \infty}\frac{x^2}{x}=\infty
  • Dominanzregel:
lim⁡x→∞axmbxn={0, if m<n,ab, if m=n,±∞, if m>n.\lim_{x \to \infty} \frac{a x^m}{b x^n} = \begin{cases} 0,\ \text{if } m < n,\\ \frac{a}{b},\ \text{if } m = n, \\ \pm \infty,\ \text{if } m > n. \end{cases}
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